Examkin

Question

Difficulty: MediumRiemann Toplamı
Dik koordinat düzleminde, [0,6][0, 6] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli olan
f(x)=9−x24f(x) = 9 - \frac{x^2}{4}
fonksiyonunun grafiği verilmiştir. [0,6][0, 6] aralığı, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor.

Buna göre, [0,6][0, 6] aralığında f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı (belirli integral değeri) ile PP bölüntüsüne göre hesaplanan Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    23

Answer

10
Belirli integral değeri eğri altındaki net alanı ifade eder ve bu soru için 36 birimkaredir. Riemann alt toplamı ise fonksiyon azalan olduğu için sağ uç noktalar (x=2,4,6x=2, 4, 6) kullanılarak 26 birimkare olarak bulunur. Bu iki değer arasındaki fark 10'dur.

Step-by-Step Solution

1
Alt aralık genişliğini (bölüntü genişliğini) hesaplayın.
Δx=6−03=2\Delta x = \frac{6-0}{3} = 2
[0,6][0, 6] kapalı aralığı 3 eş alt aralığa bölündüğü için her alt aralığın genişliği 2 birimdir.
2
Alt aralıkları belirleyin ve fonksiyonun monotonluğunu analiz edin.
Alt aralıklar [0,2][0, 2], [2,4][2, 4] ve [4,6][4, 6] şeklindedir. Fonksiyon [0,6][0, 6] aralığında azalandır.
f′(x)=−x2≤0f'(x) = -\frac{x}{2} \leq 0 olduğundan fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyonun her alt aralıktaki minimum değeri sağ uç noktalarda gerçekleşir.
3
Sağ uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın ve Riemann alt toplamını bulun.
f(2)=8f(2) = 8, f(4)=5f(4) = 5, f(6)=0f(6) = 0 olup Riemann alt toplamı A=2⋅(8+5+0)=26A = 2 \cdot (8 + 5 + 0) = 26'dır.
Riemann alt toplamı, alt aralık genişliği ile aralıklardaki minimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
4
Belirli integralin değerini (eğri altında kalan alanı) hesaplayın.
I=∫06(9−x24)dx=[9x−x312]06=54−18=36I = \int_{0}^{6} \left(9 - \frac{x^2}{4}\right) dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{6} = 54 - 18 = 36'dır.
Grafik xx ekseninin üzerinde kaldığı için integral değeri doğrudan eğri altındaki alanı verir.
5
İntegral değeri ile Riemann alt toplamı arasındaki farkı bulun.
I−A=36−26=10I - A = 36 - 26 = 10
İstenen fark, integral değeri olan 36'dan Riemann alt toplamı olan 26 çıkarılarak elde edilir.

Key Concept

Riemann Alt Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic