Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)={x2+4x+a,x≤1−x2+bx+3,x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + a, & x \le 1 \\ -x^2 + bx + 3, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    14
  3. C
    19
  4. 20Answer
  5. E
    22

Answer

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı 20'dir.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir olması, x = 1 noktasında hem sürekli hem de türevlenebilir olmasını gerektirir. Bu koşullardan b = 8 ve a = 5 elde edilir. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olup işaret değiştirdiği x = -2 (yerel minimum) ve x = 4 (yerel maksimum) noktalarıdır. Bu noktaların ordinatları sırasıyla f(-2) = 1 ve f(4) = 19 olup, toplamları 20 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Türevlenebilir her fonksiyon sürekli olmak zorunda olduğundan, fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşitliğini yazarız.
5+a=b+2  ⟹  b−a=35 + a = b + 2 \implies b - a = 3
x = 1 noktasında limitlerin ve fonksiyon değerinin eşit olması süreklilik şartıdır.
2
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan türevlerinin eşitliğini kurarız.
2(1)+4=−2(1)+b  ⟹  6=−2+b  ⟹  b=82(1) + 4 = -2(1) + b \implies 6 = -2 + b \implies b = 8
Kritik noktada türevin var olması için sağ ve sol türevler eşit olmalıdır.
3
Elde edilen b değerini birinci adımdaki denklemde yerine yazarak a değerini buluruz.
8−a=3  ⟹  a=58 - a = 3 \implies a = 5
Süreklilikten elde edilen bağıntıda b yerine 8 yazılır.
4
Fonksiyonun parçalı tanımlı kısımları için türev fonksiyonunu oluşturup türevin köklerini (kritik noktaları) buluruz.
x<1x < 1 için f′(x)=2x+4=0  ⟹  x=−2f'(x) = 2x + 4 = 0 \implies x = -2 ve x>1x > 1 için f′(x)=−2x+8=0  ⟹  x=4f'(x) = -2x + 8 = 0 \implies x = 4
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bulunan kökler kendi tanımlı oldukları aralıklara uygundur.
5
Kritik noktaların ordinatlarını (y değerlerini) hesaplarız.
f(−2)=(−2)2+4(−2)+5=1f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1 (yerel minimum ordinatı) ve f(4)=−(4)2+8(4)+3=19f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 3 = 19 (yerel maksimum ordinatı)
Bulunan apsis değerleri ilgili fonksiyon parçalarında yerine yazılır.
6
Ordinat değerlerini toplarız.
1+19=201 + 19 = 20
Soru bizden ekstremum noktalarının ordinatları toplamını istemektedir.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik, türevlenebilirlik ve yerel ekstremum noktalarının bulunması
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic