Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
a=log⁡1218 a = \log_{12} 18

olduğuna göre, log⁡1824\log_{18} 24 ifadesinin aa türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    5a−13\frac{5a - 1}{3}
  2. B
    35a−1\frac{3}{5a - 1}
  3. C
    5a−13a\frac{5a - 1}{3a}
  4. 5−a3a\frac{5 - a}{3a}Answer
  5. E
    5−a3\frac{5 - a}{3}

Answer

Doğru cevap 5−a3a\frac{5 - a}{3a} ifadesidir.
Taban değiştirme kuralı ve logaritma özellikleri sırasıyla uygulanıp log⁡23\log_2 3 ifadesi çekildiğinde ve istenen ifadede yerine yazıldığında doğru sonuç 5−a3a\frac{5 - a}{3a} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen a=log⁡1218a = \log_{12} 18 ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 2 tabanına çevirelim.
a=log⁡218log⁡212a = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} elde edilir.
Soruda verilen taban ile istenen ifadenin tabanı farkl�� olduğundan, ortak bir tabanda (bu durumda 2 tabanında) yazmak işlemleri kolaylaştırır.
2
18 ve 12 sayılarını asal çarpanlarına ayırıp logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak ifadeleri açalım.
log⁡218=log⁡2(2⋅32)=1+2log⁡23\log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 3^2) = 1 + 2\log_2 3 ve log⁡212=log⁡2(22⋅3)=2+log⁡23\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = 2 + \log_2 3 olur.
Logaritmanın çarpım özelliği olan log⁡b(x⋅y)=log⁡bx+log⁡by\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y ve üs özelliği olan log⁡b(xn)=nlog⁡bx\log_b (x^n) = n\log_b x kurallarını uygulamak için.
3
log⁡23=u\log_2 3 = u değişken değiştirmesini yaparak uu değerini aa türünden çekelim.
a=1+2u2+u  ⟹  2a+au=1+2u  ⟹  u(a−2)=1−2a  ⟹  u=2a−12−aa = \frac{1 + 2u}{2 + u} \implies 2a + au = 1 + 2u \implies u(a - 2) = 1 - 2a \implies u = \frac{2a - 1}{2 - a} elde edilir.
İfadeleri tek bir bilinmeyene indirgeyip cebirsel olarak çözmek için.
4
İstenen log⁡1824\log_{18} 24 ifadesini de 2 tabanında yazalım ve çarpanlarına ayırarak uu cinsinden ifade edelim.
log⁡1824=log⁡224log⁡218=log⁡2(23⋅3)log⁡2(2⋅32)=3+log⁡231+2log⁡23=3+u1+2u\log_{18} 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 18} = \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3)}{\log_2 (2 \cdot 3^2)} = \frac{3 + \log_2 3}{1 + 2\log_2 3} = \frac{3 + u}{1 + 2u} olur.
İstenen ifadeyi bulduğumuz uu değişkeni cinsinden yazıp yerine koyabilmek için.
5
Bulduğumuz u=2a−12−au = \frac{2a - 1}{2 - a} değerini 3+u1+2u\frac{3 + u}{1 + 2u} ifadesinde yerine yazarak sadeleştirelim.
3+2a−12−a1+2(2a−12−a)=6−3a+2a−12−a2−a+4a−22−a=5−a3a\frac{3 + \frac{2a - 1}{2 - a}}{1 + 2\left(\frac{2a - 1}{2 - a}\right)} = \frac{\frac{6 - 3a + 2a - 1}{2 - a}}{\frac{2 - a + 4a - 2}{2 - a}} = \frac{5 - a}{3a} elde edilir.
İstenen ifadenin aa türünden en sade halini bulmak için.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Cebirsel Sadeleştirme

Alternative Method

Verilen a=log⁡1218a = \log_{12} 18 ifadesi 12a=1812^a = 18 şeklinde üslü biçimde yazılabilir. Buradan her iki tarafın 3 tabanında logaritması alınarak log⁡32\log_3 2 ifadesi yalnız bırakılabilir. Benzer şekilde, istenen log⁡1824\log_{18} 24 ifadesi 3 tabanına göre açılarak bulunan değer yerine yerleştirilebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic