Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S4−S2=12S_4 - S_2 = 12
S2=3S_2 = 3

olduğuna göre, ortak çarpanı pozitif olan bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

  1. 11Answer
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. C
    34\frac{3}{4}
  4. D
    35\frac{3}{5}
  5. E
    33

Answer

Dizinin ilk terimi 1'dir.
Dizinin ilk dört terim toplamının ilk iki terim toplamına oranı r2+1r^2 + 1 bağıntısına eşittir. Verilen değerlerden S4=15S_4 = 15 ve S2=3S_2 = 3 olduğundan bu oran 55'e eşit olur. r2+1=5⇒r=2r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r = 2 bulunur. S2=a1(1+r)=3S_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinde ortak çarpan yerine yazıldığında a1=1a_1 = 1 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp S4S_4 ve S2S_2 ifadelerini oranlayalım.
S4S2=r2+1\frac{S_4}{S_2} = r^2 + 1 bağıntıs�� elde edilir.
Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} formülünden S4=a1⋅1−r41−rS_4 = a_1 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r} ve S2=a1⋅1−r21−rS_2 = a_1 \cdot \frac{1 - r^2}{1 - r} yazılırsa, bu iki ifade oranlandığında 1−r41−r2=r2+1\frac{1 - r^4}{1 - r^2} = r^2 + 1 bulunur.
2
Verilen S4−S2=12S_4 - S_2 = 12 ve S2=3S_2 = 3 değerlerini kullanarak S4S_4 toplamını ve S4S2\frac{S_4}{S_2} oranını hesaplayalım.
S4=15S_4 = 15 ve r2+1=5r^2 + 1 = 5 eşitliğinden ortak çarpan r=2r = 2 bulunur.
S4=(S4−S2)+S2=12+3=15S_4 = (S_4 - S_2) + S_2 = 12 + 3 = 15 olur. Buradan oran S4S2=153=5\frac{S_4}{S_2} = \frac{15}{3} = 5 olarak elde edilir. r2+1=5⇒r2=4r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r^2 = 4 olur. Ortak çarpan pozitif olduğundan r=2r = 2 bulunur.
3
Bulunan ortak çarpan r=2r = 2 ve S2=3S_2 = 3 değerini kullanarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayalım.
a1=1a_1 = 1 bulunur.
S2=a1+a2=a1(1+r)S_2 = a_1 + a_2 = a_1(1 + r) şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak 3=a1(1+2)⇒3=3a1⇒a1=13 = a_1(1 + 2) \Rightarrow 3 = 3a_1 \Rightarrow a_1 = 1 elde edilir.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic