Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Birim çember üzerinde, pozitif yönlü bir θ\theta açısının bitim kenarının çemberi kestiği nokta A(a,b)A(a, b)'dir. θ\theta açısı analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olmak üzere, a−b=1.4a - b = 1.4 ve a>∣b∣a > |b| olduğuna göre, bb değeri kaçtır?

Answer: -0.6

Answer

İstenen ordinat değeri olan b sayısı -0.6 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının kareleri a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 bağıntısını sağlar. Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 eşitliğinden yararlanarak elde edilen b2+1.4b+0.48=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 denkleminin kökleri -0.6 ve -0.8 değerleridir. a>∣b∣a > |b| koşulu yalnızca b=−0.6b = -0.6 ve a=0.8a = 0.8 için sağlandığından doğru cevap -0.6 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Birim çember tanımını ve verilen denklemi kullanarak bir denklem sistemi oluşturma.
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 ve a−b=1.4a - b = 1.4 denklem sistemi elde edilir.
Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır.
2
aa değişkenini bb cinsinden yazıp birinci denklemde yerine koyarak bb değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi çözme.
b2+1.4b+0.48=0  ⟹  (b+0.6)(b+0.8)=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 \implies (b + 0.6)(b + 0.8) = 0 denkleminden b=−0.6b = -0.6 veya b=−0.8b = -0.8 bulunur.
Sistemdeki ortak çözümü sağlayan olası ordinat değerlerini bulmak için.
3
Dördüncü bölge koşulu ile a>∣b∣a > |b| eşitsizliğini kontrol ederek doğru bb değerini seçme.
b=−0.6b = -0.6 için a=0.8a = 0.8 olur ve 0.8>0.60.8 > 0.6 şartı sağlanır. Diğer kök bu şartı sağlamaz.
Soruda verilen bölge ve büyüklük sınırlandırmalarını sağlayan tek bir doğru çözümün tespiti için.

Key Concept

Birim çember tanımı ve trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri ile büyüklük ilişkileri.

Alternative Method

Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 denkleminin her iki tarafının karesi alınarak (a−b)2=a2−2ab+b2=1.96(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1.96 yazılabilir. a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 olduğu bilindiğinden 1−2ab=1.96  ⟹  2ab=−0.96  ⟹  ab=−0.481 - 2ab = 1.96 \implies 2ab = -0.96 \implies ab = -0.48 elde edilir. Toplamları a+(−b)=1.4a + (-b) = 1.4 ve çarpımları a(−b)=0.48a(-b) = 0.48 olan iki sayı 0.80.8 ve 0.60.6'dır. a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğundan aa ve −b-b pozitif sayılardır. a>∣b∣  ⟹  a>−ba > |b| \implies a > -b olduğu için a=0.8a = 0.8 ve −b=0.6  ⟹  b=−0.6-b = 0.6 \implies b = -0.6 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic