Examkin

Question

Difficulty: MediumBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen ff fonksiyonu için
f(1)=1f(1) = 1
f′(1)=3f'(1) = 3
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, g(x)=f(2x−f(x))g(x) = f(2x - f(x)) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Answer: -3

Answer

g fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri -3'tür.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulandığında g'(x) = f'(2x - f(x)) * (2 - f'(x)) elde edilir. x = 1 için bu ifade g'(1) = f'(1) * (2 - f'(1)) = 3 * (2 - 3) = -3 olur.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(2x−f(x))g(x) = f(2x - f(x)) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak ifade etme.
g′(x)=f′(2x−f(x))⋅(2−f′(x))g'(x) = f'(2x - f(x)) \cdot (2 - f'(x))
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre (f(u(x)))′=f′(u(x))⋅u′(x)(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x) şeklindedir. Burada u(x)=2x−f(x)u(x) = 2x - f(x) olup, u′(x)=2−f′(x)u'(x) = 2 - f'(x)'tir.
2
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 değerini yerine yazma.
g′(1)=f′(2(1)−f(1))⋅(2−f′(1))g'(1) = f'(2(1) - f(1)) \cdot (2 - f'(1))
x=1x = 1 noktasındaki türev değerini bulmak için g′(x)g'(x) ifadesinde xx yerine 11 yazılır.
3
Verilen f(1)=1f(1) = 1 ve f′(1)=3f'(1) = 3 değerlerini yerine koyarak hesaplama yapma.
g′(1)=f′(1)⋅(2−3)=3⋅(−1)=−3g'(1) = f'(1) \cdot (2 - 3) = 3 \cdot (-1) = -3
Soru kökündeki bilinen değerler yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic