Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir. Bu dizinin ortak çarpanı r=3r = 3 ve

S5−S2=234S_5 - S_2 = 234

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    6
  3. 2Answer
  4. D
    -2
  5. E
    18

Answer

Bu dizinin ilk terimi 2'dir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} kullanıldığında S5=121a1S_5 = 121a_1 ve S2=4a1S_2 = 4a_1 elde edilir. Bu iki toplamın farkı olan 117a1117a_1 değeri 234'e eşitlendiğinde ilk terim a1=2a_1 = 2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplamı formülü kullanılarak S5S_5 ve S2S_2 ifadeleri belirlenir.
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle bulunur. r=3r = 3 için:
S5=a135−13−1=a12422=121a1S_5 = a_1 \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{242}{2} = 121 a_1
S2=a132−13−1=a182=4a1S_2 = a_1 \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{8}{2} = 4 a_1 elde edilir.
Verilen terimlerin toplam farkını ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için.
2
Bu iki ifadenin farkı alınarak verilen sayısal değere eşitlenir.
S5−S2=121a1−4a1=117a1S_5 - S_2 = 121 a_1 - 4 a_1 = 117 a_1 olur.
117a1=234117 a_1 = 234 denklemi kurulur.
Dizinin ilk terimini (a1a_1) bulmamızı sağlayacak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi elde etmek için.
3
Elde edilen denklem çözülerek a1a_1 bulunur.
a1=234117=2a_1 = \frac{234}{117} = 2 bulunur.
Dizinin ilk terimini netleştirmek için.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı formülü Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} şeklindedir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic