Examkin

Question

Difficulty: EasyTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden aşağıdaki trigonometrik değerleri küçükten büyüğe do��ru sıralamalarını istemiştir:
a=sin⁡(110∘)a = \sin(110^\circ)
b=cos⁡(200∘)b = \cos(200^\circ)
c=tan⁡(250∘)c = \tan(250^\circ)
Buna göre, bu değerlerin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    a<b<ca < b < c
  2. B
    b<c<ab < c < a
  3. C
    c<b<ac < b < a
  4. b<a<cb < a < cAnswer
  5. E
    a<c<ba < c < b

Answer

b<a<cb < a < c
Verilen açıların bölgeleri ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretleri incelendiğinde; ikinci bölgedeki 110∘110^\circ açısının sinüsü pozitif, üçüncü bölgedeki 200∘200^\circ açısının kosinüsü negatif, üçüncü bölgedeki 250∘250^\circ açısının tanjantı ise pozitif bir değer alır. Ayrıca 250∘250^\circ açısının tanjantı olan tan⁡(70∘)\tan(70^\circ) değeri 1'den büyüktür. Bu durumda negatif olan değer en küçük, 1'den büyük olan tanjant değeri ise en büyük olmalıdır. Dolayısıyla en küçükten en büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklinde olur.

Step-by-Step Solution

1
Açıların bulundukları bölgeleri belirleyin.
110∘110^\circ açısı II. bölgede, 200∘200^\circ ve 250∘250^\circ açıları III. bölgededir.
Trigonometrik oranların işaretlerini doğru tespit edebilmek için açıların hangi bölgelerde yer aldığını bilmemiz gerekir.
2
Fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini bulun.
a=sin⁡(110∘)>0a = \sin(110^\circ) > 0 (II. bölgede sinüs pozitiftir), b=cos⁡(200∘)<0b = \cos(200^\circ) < 0 (III. bölgede kosinüs negatiftir), c=tan⁡(250∘)>0c = \tan(250^\circ) > 0 (III. bölgede tanjant pozitiftir).
Pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırarak sıralamanın genel yapısını oluşturmak için işaretleri belirleriz.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini indirgeme formülleriyle I. bölgeye taşıyarak karşılaştırın.
a=sin⁡(110∘)=sin⁡(180∘−70∘)=sin⁡(70∘)a = \sin(110^\circ) = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin(70^\circ) ve c=tan⁡(250∘)=tan⁡(180∘+70∘)=tan⁡(70∘)c = \tan(250^\circ) = \tan(180^\circ + 70^\circ) = \tan(70^\circ) olur. tan⁡(70∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(70^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 iken sin⁡(70∘)<1\sin(70^\circ) < 1 olduğundan a<ca < c elde edilir.
Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini netleştirmek için I. bölgedeki değer aralıklarını karşılaştırırız.
4
Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayın.
b<0b < 0 ve 0<a<1<c0 < a < 1 < c olduğundan doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Negatif olan en küçük terim ile pozitif olan terimlerin kendi arasındaki büyüklük ilişkisini bir araya getirerek nihai sıralamaya ulaşırız.

Key Concept

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve I. bölgeye indirgenerek sıralanması.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic