Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları koordinat düzleminde y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    -1
  2. B
    2
  3. 5Answer
  4. D
    7
  5. E
    17

Answer

Doğru cevap 5'tir.
Türev alınarak elde edilen yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir. Bu noktalar doğru denklemi üzerinde yer aldığından ordinatları toplamı 6 olur. Fonksiyon tanımından elde edilen ordinat toplamı ifadesi 2a + 2b - 4 olup bu ifade 6'ya eşitlendiğinde a + b = 5 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerinin sağladığı denklemi belirlemek.
f′(x)=3x2−6x+a=0f'(x) = 3x^2 - 6x + a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleridir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu noktalarda yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini yazmak.
x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 ve x1⋅x2=a3x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{3}
İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanmak gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını doğrunun denklemini kullanarak ifade etmek.
y1+y2=−2(x1+x2)+10=−2(2)+10=6y_1 + y_2 = -2(x_1 + x_2) + 10 = -2(2) + 10 = 6 elde edilir.
Ekstremum noktaları doğru üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Fonksiyon tanımını kullanarak yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını a ve b cinsinden yazıp eşitlemek.
y1+y2=(x13+x23)−3(x12+x22)+a(x1+x2)+2b=(8−2a)−3(4−2a3)+2a+2b=2a+2b−4y_1 + y_2 = (x_1^3 + x_2^3) - 3(x_1^2 + x_2^2) + a(x_1 + x_2) + 2b = (8 - 2a) - 3(4 - \frac{2a}{3}) + 2a + 2b = 2a + 2b - 4. Buradan 2a+2b−4=6  ⟹  a+b=52a + 2b - 4 = 6 \implies a + b = 5 bulunur.
Ordinatların fonksiyon tanımıyla elde edilen değeri ile doğru denklemiyle elde edilen değerinin eşitlenmesiyle a + b toplamına ulaşılır.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının koordinatları, hem fonksiyonun kendisini hem de noktaların üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini sağlar.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic