Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
Her xx gerçel sayısı için
x2−(a−3)x+a>0x^2 - (a-3)x + a > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Answer: 35

Answer

Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanmasını sağlayan aa tam sayılarının alabileceği farklı değerlerin toplamı 35'tir.
Verilen ikinci dereceden ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olabilmesi için ifadenin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0). Buradan elde edilen a2−10a+9<0a^2 - 10a + 9 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi 1<a<91 < a < 9 açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan aa tam sayıları 2,3,4,5,6,7,82, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olup toplamları 35 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima sağlanma koşullarını belirleme.
Baş katsayının pozitif olması (1>01 > 0) ve diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir (Δ<0\Delta < 0).
İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabol) her zaman pozitif değerler alması, grafiğin xx eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması ile mümkündür.
2
Eşitsizlik için diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplama.
Δ=a2−10a+9\Delta = a^2 - 10a + 9 ifadesi elde edilir.
Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC formülünde A=1A = 1, B=−(a−3)B = -(a-3) ve C=aC = a değerleri yerine koyulur.
3
Δ<0\Delta < 0 koşulundan elde edilen eşitsizliği çarpanlarına ayırıp kökleri bulma.
(a−1)(a−9)<0(a-1)(a-9) < 0 eşitsizliğinin kökleri a=1a = 1 ve a=9a = 9 olarak bulunur.
Kökleri bulmak işaret inceleme tablosunun oluşturulması için gereklidir.
4
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleme ve aa tam sayılarının toplamını hesaplama.
Çözüm aralığı 1<a<91 < a < 9 olup, bu aralıktaki aa tam sayı değerlerinin toplamı 2+3+4+5+6+7+8=352 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 bulunur.
Kökler dahil edilmeden (11 ve 99 hariç) açık aralıktaki tam sayılar belirlenir.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin daima pozitif olma koşulu (işaret analizi)
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi