Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡312=a\log_3 12 = a
log⁡25=b\log_2 5 = b

olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3a−2ab−b+1\frac{3a-2}{ab-b+1}
  2. 3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2}Answer
  3. C
    a+5a+2b−1\frac{a+5}{a+2b-1}
  4. D
    ab−b+23a−1\frac{ab-b+2}{3a-1}
  5. E
    3a+2ab+2\frac{3a+2}{ab+2}

Answer

3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2}
İstenen ifade taban değiştirme kuralı ile 2 tabanına çevrildiğinde 3+log⁡23log⁡23+log⁡25\frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5} elde edilir. log⁡312=a\log_3 12 = a eşitliğinden bulunan log⁡23=2a−1\log_2 3 = \frac{2}{a-1} ve log⁡25=b\log_2 5 = b değerleri yerlerine yazılıp sadeleştirildiğinde 3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2} ifadesine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen log⁡312=a\log_3 12 = a eşitliğini logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirelim.
log⁡312=log⁡3(3⋅4)=log⁡33+log⁡3(22)=1+2log⁡32=a\log_3 12 = \log_3 (3 \cdot 4) = \log_3 3 + \log_3 (2^2) = 1 + 2\log_3 2 = a Buradan, 2log⁡32=a−1  ⟹  log⁡32=a−122\log_3 2 = a - 1 \implies \log_3 2 = \frac{a-1}{2} bulunur.
Verilen ifadeyi daha basit logaritmik terimlere indirgemek.
2
Elde edilen ifadeden taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡23\log_2 3 değerini elde edelim.
log⁡23=1log⁡32=2a−1\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2} = \frac{2}{a-1} olarak bulunur.
Diğer verilen değer olan log⁡25=b\log_2 5 = b ifadesinin tabanı 2 olduğundan, tüm terimleri 2 tabanında yazabilmek.
3
İstenen log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 2 tabanında yazalım.
log⁡1524=log⁡224log⁡215=log⁡2(23⋅3)log⁡2(3⋅5)=3+log⁡23log⁡23+log⁡25\log_{15} 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 15} = \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3)}{\log_2 (3 \cdot 5)} = \frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5} elde edilir.
İstenen ifadeyi bilinen değişkenlerin tabanında (2 tabanında) ifade etmek.
4
Bulduğumuz log⁡23=2a−1\log_2 3 = \frac{2}{a-1} ve log⁡25=b\log_2 5 = b değerlerini formülde yerine yazarak düzenleyelim.
log⁡1524=3+2a−12a−1+b=3a−3+2a−12+ab−ba−1=3a−1ab−b+2\log_{15} 24 = \frac{3 + \frac{2}{a-1}}{\frac{2}{a-1} + b} = \frac{\frac{3a-3+2}{a-1}}{\frac{2+ab-b}{a-1}} = \frac{3a-1}{ab-b+2} elde edilir.
Rasyonel ifadelerde payda eşitleme ve sadeleştirme işlemlerini yaparak sonuca ulaşmak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic