Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡3x−4log⁡x3=3\log_3 x - 4\log_x 3 = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Answer: 27

Answer

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 27'dir.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Değişken değiştirme yöntemiyle bu denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür ve çözülür. Elde edilen x=81x = 81 ve x=1/3x = 1/3 değerlerinin her ikisi de logaritma tanım kümesini sağladığından denklemin kökleridir. Bu köklerin çarpımı ise 27 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡x3\log_x 3 ifadesini log⁡3x\log_3 x cinsinden yazın.
log⁡x3=1log⁡3x\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}
Bilinmeyenleri aynı tabanda birleştirerek çözülebilir tek bir değişkenli denklem elde etmek.
2
log⁡3x=u\log_3 x = u değişken değiştirmesini uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürün.
u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0
Rasyonel ifade içeren denklemi standart ikinci dereceden denklem formuna getirmek.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak uu değerlerini bulun.
u=4u = 4 veya u=−1u = -1
Dönüşüm değişkeninin alabileceği kök değerlerini belirlemek.
4
Bulunan uu değerlerini log⁡3x=u\log_3 x = u eşitliğinde yerine yazarak xx değerlerini çözün.
x=34=81x = 3^4 = 81 ve x=3−1=13x = 3^{-1} = \frac{1}{3}
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini elde etmek.
5
Köklerin tanımlılık şartlarını kontrol edin ve çarpımlarını hesaplayın.
81⋅13=2781 \cdot \frac{1}{3} = 27
Bulunan köklerin logaritma tanım kümesine (taban pozitif ve 1'den farklı olmalı) uygunluğunu doğrulayıp istenen çarpım değerine ulaşmak.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklem dönüşümüyle çözülmesi.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic