Examkin

Limit ve Süreklilik

122 questions

All types122Multiple choice78True / False23Numeric21
Question 121Question →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→1x2+ax+b−2x2−1=L\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + ax + b} - 2}{x^2 - 1} = L
eşitliği veriliyor.
LL sıfırdan farklı bir gerçel sayı oldu��una göre, b+8Lb + 8L ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İstenen ifadenin değeri 5'tir.
Limitin sıfırdan farklı bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için belirsizlik koşulundan b=3−ab = 3 - a bağıntısı elde edilir. Limitteki belirsizlik eşlenik çarpımı ve sadeleştirme yöntemiyle giderildiğinde 8L=2+a8L = 2 + a sonucuna ulaşılır. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplandığında aa terimleri birbirini götürür ve b+8L=5b + 8L = 5 değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit değerinin bir gerçel sayı olması için paydanın sıfıra gittiği durumda pay kısmının limitinin de sıfır olması gerektiğini belirleme
x→1x \to 1 için x2−1→0x^2 - 1 \to 0 olduğundan, limitin sıfırdan farklı bir gerçel sayı (LL) olabilmesi i��in lim⁡x→1(x2+ax+b−2)=0\lim_{x \to 1} (\sqrt{x^2 + ax + b} - 2) = 0 olmalıdır. Buradan 1+a+b=2  ⟹  1+a+b=4  ⟹  b=3−a\sqrt{1 + a + b} = 2 \implies 1 + a + b = 4 \implies b = 3 - a elde edilir.
Eğer payın limiti sıfıra eşit olmasaydı, limit değeri gerçel bir sayı olamazdı (sayı/sıfır durumundan dolayı limit tanımsız veya sonsuz olurdu).
2
Elde edilen b=3−ab = 3 - a ilişkisini limit ifadesinde yerine yazarak eşlenik ile çarpma yöntemini uygulama
lim⁡x→1x2+ax+3−a−2x2−1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} - 2}{x^2 - 1} ifadesinde payı ve paydayı payın eşleniği olan x2+ax+3−a+2\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2 ile çarptığımızda:
lim⁡x→1(x2+ax+3−a)−4(x2−1)(x2+ax+3−a+2)=lim⁡x→1x2+ax−a−1(x2−1)(x2+ax+3−a+2)\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + ax + 3 - a) - 4}{(x^2 - 1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{(x^2 - 1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} elde edilir.
Pay kısmındaki köklü ifadeyi açarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanı sadeleştirebilmek amacıyla eşlenik çarpımı yapılır.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirme
Pay kısmındaki ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırdığımızda: x2+ax−a−1=(x2−1)+a(x−1)=(x−1)(x+1)+a(x−1)=(x−1)(x+1+a)x^2 + ax - a - 1 = (x^2 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1 + a) olur. Payda ise x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır. Bu çarpanları yerine yazıp sadeleştirdiğimizde limit:
lim⁡x→1(x−1)(x+1+a)(x−1)(x+1)(x2+ax+3−a+2)=lim⁡x→1x+1+a(x+1)(x2+ax+3−a+2)\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x + 1 + a)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1 + a}{(x+1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} haline gelir.
0/0 belirsizliğine neden olan ortak (x−1)(x-1) çarpanını sadeleştirmek.
4
Sadeleşmiş limit ifadesinde x=1x = 1 yazarak LL limit değerini hesaplama
L=1+1+a(1+1)(1+a+3−a+2)=2+a2(2+2)=2+a8L = \frac{1 + 1 + a}{(1+1)(\sqrt{1 + a + 3 - a} + 2)} = \frac{2 + a}{2(2 + 2)} = \frac{2 + a}{8} elde edilir. Buradan 8L=2+a8L = 2 + a bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değerini aa parametresine bağlı olarak bulmak.
5
bb ve 8L8L ifadelerini taraf tarafa toplayarak istenen değere ulaşma
b=3−ab = 3 - a ve 8L=2+a8L = 2 + a eşitliklerini taraf tarafa topladığımızda:
b+8L=(3−a)+(2+a)=5b + 8L = (3 - a) + (2 + a) = 5 bulunur.
aa parametresinden bağımsız olarak b+8Lb + 8L toplamının sabit değerini elde etmek.

Key Concept

0/0 Belirsizliği içeren köklü limit durumlarında eşlenik çarpımı ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.
Question 122Question →
Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir P(x)P(x) polinomu için
P(1)=0P(1) = 0
lim⁡x→3P(x)−4x2−9=2\lim_{x \to 3} \frac{P(x) - 4}{x^2 - 9} = 2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, P(2)P(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

P(2) değeri -3'tür.
Limit değerinin gerçel bir sayı olması için payın da x=3 noktasında sıfır olması gerekir. Buradan P(3)=4 olduğu bulunur. Limit ifadesi çarpanlara ayrılıp veya L'Hopital uygulanarak P'(3)=12 bulunur. P(1)=0 koşuluyla birlikte bu veriler kullanıldığında P(x) = 5x^2 - 18x + 13 polinomuna ulaşılır. Polinomda x=2 yazıldığında sonuç -3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Limit ifadesinde paydanın x→3x \to 3 için sıfır olduğunu belirlemek ve belirsizliğin giderilmesi için payın limitini bulmak.
P(3)−4=0  ⟹  P(3)=4P(3) - 4 = 0 \implies P(3) = 4 elde edilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için 0/00/0 belirsizliği olmalıdır.
2
P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c polinomunda P(1)=0P(1) = 0 ve P(3)=4P(3) = 4 değerlerini kullanarak birinci ve ikinci katsayı ilişkisini yazmak.
a+b+c=0a + b + c = 0 ve 9a+3b+c=49a + 3b + c = 4 denklemlerinden 4a+b=24a + b = 2 ba��ıntısı bulunur.
Verilen polinom değerlerinin katsayılar cinsinden ifadesini sadeleştirmek.
3
Limit değerini çarpanlara ayırma ya da türev tanımı (L'Hopital) ile analiz etmek.
lim⁡x→3P(x)−4x2−9=lim⁡x→3P(x)−P(3)x−3⋅1x+3=P′(3)6=2  ⟹  P′(3)=12\lim_{x \to 3} \frac{P(x) - 4}{x^2 - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{P(x) - P(3)}{x - 3} \cdot \frac{1}{x + 3} = \frac{P'(3)}{6} = 2 \implies P'(3) = 12 olur. Buradan 6a+b=126a + b = 12 elde edilir.
0/00/0 belirsizliğinin giderilmesiyle oluşan limiti türev yardımıyla ifade etmek.
4
Elde edilen 4a+b=24a + b = 2 ve 6a+b=126a + b = 12 denklem sistemini çözerek polinomu belirlemek.
a=5a = 5, b=−18b = -18 ve c=13c = 13 bulunarak P(x)=5x2−18x+13P(x) = 5x^2 - 18x + 13 elde edilir.
Polinomun tüm katsayılarını bulmak.
5
Bulunan polinomda x=2x = 2 yazarak sonucu hesaplamak.
P(2)=5(2)2−18(2)+13=−3P(2) = 5(2)^2 - 18(2) + 13 = -3 bulunur.
Soruda istenen P(2)P(2) değerine ulaşmak.

Key Concept

İkinci dereceden polinom fonksiyonlarda limit belirsizliğinin çarpanlara ayırma veya türev yardımıyla çözülmesi.
PreviousPage 7 / 7
Limit ve Süreklilik Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 7 | Examkin