Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir okulda proje ödevi hazırlayan öğrencilerin tamamı EE evrensel kümesini oluşturmaktadır. Bu öğrencilerden fizik projesi hazırlayanların kümesi FF, kimya projesi hazırlayanların kümesi KK'dir.

Bu öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi de hazırlamayan öğrenci sayısı 12'dir.
- Kimya projesi hazırlamayıp fizik projesi hazırlayanlar kümesinde yer almayan öğrenci sayısı 18'dir.
- Fizik veya kimya projelerinden en az birini hazırlamayan öğrenci sayısı 34'tür.

Okulda proje ödevi hazırlayan toplam 45 öğrenci olduğuna göre, fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi hazırlayan öğrenci sayısı kaçtır?

Answer: 4

Answer

Fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi hazırlayan öğrenci sayısı 4'tür.
Soruda verilen sözel ifadeler küme işlemlerine dönüştürüldüğünde, evrensel kümenin eleman sayısı s(E)=45s(E) = 45, her iki projeyi de yapmayanların sayısı s(F′∩K′)=12s(F' \cap K') = 12, sadece fizik projesi yapanların sayısı s(K′∖F′)=s(F∖K)=18s(K' \setminus F') = s(F \setminus K) = 18 ve en az bir projeyi yapmayanların sayısı s(F′∪K′)=s((F∩K)′)=34s(F' \cup K') = s((F \cap K)') = 34 olarak elde edilir. Buradan s(F∪K)=45−12=33s(F \cup K) = 45 - 12 = 33 ve s(F∩K)=45−34=11s(F \cap K) = 45 - 34 = 11 bulunur. Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünden sadece kimya projesi yapanların sayısı s(K∖F)=33−(18+11)=4s(K \setminus F) = 33 - (18 + 11) = 4 olarak hesaplanır. Bu değer, fizik hazırlamayıp kimya hazırlayanların sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1
En az bir proje hazırlayan öğrenci sayısını bulmak
s(F∪K)=33s(F \cup K) = 33
Evrensel kümedeki tüm öğrencilerin sayısından (45), her iki projeyi de hazırlamayanların sayısı (12) çıkarılır.
2
Sadece fizik projesi hazırlayan öğrenci sayısını belirlemek
s(F∖K)=18s(F \setminus K) = 18
'Kimya projesi hazırlamayıp fizik projesi hazırlayanlar kümesinde yer almayan' ifadesi K′∖F′K' \setminus F' kümesini belirtir ve bu küme F∖KF \setminus K kümesine eşittir.
3
Her iki projeyi de hazırlayan öğrenci sayısını bulmak
s(F∩K)=11s(F \cap K) = 11
'Fizik veya kimya projelerinden en az birini hazırlamayan' ifadesi De Morgan kuralları gereği (F∩K)′(F \cap K)' kümesine karşılık gelir. Buradan s(E)−s((F∩K)′)=45−34=11s(E) - s((F \cap K)') = 45 - 34 = 11 olur.
4
Sadece kimya projesi hazırlayan (fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi hazırlayan) öğrenci sayısını hesaplamak
s(K∖F)=4s(K \setminus F) = 4
Birleşim formülü olan s(F∪K)=s(F∖K)+s(F∩K)+s(K∖F)s(F \cup K) = s(F \setminus K) + s(F \cap K) + s(K \setminus F) ifadesinde değerler yerine yazılır: 33=18+11+s(K∖F)  ⟹  s(K∖F)=433 = 18 + 11 + s(K \setminus F) \implies s(K \setminus F) = 4 elde edilir.

Key Concept

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin sembolik ve sözel ifadelerle modellenerek çözülmesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic