Kümeler ve Mantık Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Question 1Question →

Her $p$ ve $q$ önermesi için, $[(p \Rightarrow q)' \lor (q \Rightarrow p)'] \equiv (p \Leftrightarrow q)'$ denkliği her zaman doğrudur.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade her zaman doğrudur. İki yönlü koşullu önermenin tanımı ve De Morgan kuralları uygulandığında

[(p \Rightarrow q)' \lor (q \Rightarrow p)'] \equiv (p \Leftrightarrow q)'

denkliği elde edilir.

Verilen ifade, iki yönlü koşullu önermenin tanımı ve De Morgan kurallarının doğrudan bir sonucudur.

(p \Leftrightarrow q)' \equiv ((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p))' \equiv (p \Rightarrow q)' \lor (q \Rightarrow p)'

denkliği her zaman sağlandığı için ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

İki yönlü koşullu önermenin (

p \Leftrightarrow q

) koşullu önermeler cinsinden tanımını yazın.

p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)

İki yönlü koşullu önerme, iki koşullu önermenin 've' bağlacı ile birleştirilmesiyle tanımlanır.

2

İki yönlü koşullu önermenin değilini (

(p \Leftrightarrow q)'

) almak için tanım ifadesinin değilini oluşturun.

(p \Leftrightarrow q)' \equiv ((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p))'

İki yönlü koşullu önermenin değilinin koşullu önermeler cinsinden karşılığını bulmak amaçlanır.

3

Elde edilen değil ifadesine De Morgan kurallarını uygulayın.

((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p))' \equiv (p \Rightarrow q)' \lor (q \Rightarrow p)'

De Morgan kuralları gereği,

(A \land B)' \equiv A' \lor B'

eşitliği geçerlidir. Burada

A = (p \Rightarrow q)

ve

B = (q \Rightarrow p)

olarak alınmıştır.

Key Concept

İki Yönlü Koşullu Önermenin Koşullu Önermeler ve De Morgan Kuralları Cinsinden Değili

Question 2Question →

Bir kahvecide bulunan tüm müşterilerin oluşturduğu küme evrensel küme $E$ 'dir. Bu müşterilerden;
* Kahvesine süt ekletenlerin kümesi $S$ ,
* Kahvesine şurup ekletenlerin kümesi $Ş$

olarak tanımlanıyor.

Kahvesine süt ve şurup ekletmeyen müşterilerin sayısı, sadece şurup ekletenlerin sayısının 2 katına, sadece süt ekletenlerin sayısının ise 3 katına eşittir.

Kahvesine hem süt hem de şurup ekleten müşteri sayısı 4'tür.

Bu kahvecide süt veya şurup ekleten toplam müşteri sayısı 34 olduğuna göre, kahvecideki toplam müşteri sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 70

Answer

Kahvecideki toplam müşteri sayısı 70'tir.

Süt veya şurup ekletenlerin kümesi

S \cup Ş

olup eleman sayısı

s(S \setminus Ş) + s(Ş \setminus S) + s(S \cap Ş)

toplamına eşittir. Verilen oranlar kullanılarak bu bölgelerin eleman sayıları sırasıyla 12, 18 ve kesişim 4 olarak bulunur. Tümleyen bölge olan süt ve şurup ekletmeyenlerin sayısı 36'dır. Evrensel kümenin eleman sayısı bu iki grubun toplamı olan 70'tir.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerdeki bölgeleri değişkenlerle tanımlama ve oranları belirleme

s(S \setminus Ş) = x

,

s(Ş \setminus S) = y

ve

s((S \cup Ş)') = z

olsun.

z = 2y = 3x

olduğundan

y = 1,5x

ve

z = 3x

olur.

Soruda verilen oranları tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı denkleminden x değerini bulma

s(S \cup Ş) = s(S \setminus Ş) + s(Ş \setminus S) + s(S \cap Ş) = x + y + 4 = 34

ise

x + 1,5x = 30 \implies 2,5x = 30 \implies x = 12

bulunur.

Süt veya şurup ekletenlerin toplam sayısını kullanarak değişkenin değerini hesaplamak için.

3

Diğer bölgelerin eleman sayılarını hesaplama

y = 1,5 \times 12 = 18

ve

z = 3 \times 12 = 36

olarak bulunur.

Tüm alt bölgelerin eleman sayılarını belirlemek için.

4

Toplam müşteri sayısını hesaplama

s(E) = s(S \cup Ş) + s((S \cup Ş)') = 34 + 36 = 70

bulunur.

Evrensel kümenin toplam eleman sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri cebirsel olarak modelleme.

Question 3Question →

Bir

A

kümesi

A = \{ 1, 3, \{3\}, \{1, 5\}, \emptyset \}

olarak tanımlanıyor.

$A$ kümesinin alt kümelerinden;
- $\{3\}$ elemanını içerenlerin sayısı $x$ ,
- $3$ elemanını içermeyenlerin sayısı $y$

olduğuna göre, $x + y$ toplamı kaçtır?

16

24

32

48

64

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

32

A kümesinin eleman sayısı 5'tir. Bu elemanlar arasından {3} elemanı sabitlendiğinde geriye kalan 4 elemanla 16 farklı alt küme yazılabilir. Benzer şekilde, 3 elemanı kümeden atıldığında geriye kalan 4 elemanla yine 16 farklı alt küme oluşturulabilir. Bu iki değer toplandığında sonuç 32 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını tek tek listeleyerek eleman sayısını bulunuz.

A kümesinin elemanları: 1, 3, {3}, {1, 5} ve boş küme sembolüdür. Buradan kümenin eleman sayısı s(A) = 5 olarak bulunur.

Alt küme hesaplamaları yapabilmek için öncelikle kümenin eleman sayısının doğru belirlenmesi gerekir.

2

{3} elemanını içeren alt küme sayısı olan x değerini hesaplayınız.

Kümenin elemanlarından biri {3} ifadesidir. Bu elemanın bulunması istendiğinden bu eleman alt kümeye sabitlenir. Geriye kalan 4 elemanla yazılacak alt küme sayısı 2^4 = 16'dır. Dolayısıyla x = 16 bulunur.

Belirli bir elemanı içeren alt kümelerin sayısını bulmak için o eleman ayrılır ve kalan elemanlarla alt küme hesabı yapılır.

3

3 elemanını içermeyen alt küme sayısı olan y değerini hesaplayınız.

Kümenin elemanlarından biri 3 sayısıdır. Bu elemanın bulunmaması istendiğinden bu eleman kümeden atılır. Geriye kalan 4 elemanla yazılacak alt küme sayısı 2^4 = 16'dır. Dolayısıyla y = 16 bulunur.

Belirli bir elemanı içermeyen alt kümelerin sayısını bulmak için o eleman kümeden tamamen çıkarılarak hesaplama yapılır.

4

Elde edilen x ve y değerlerini toplayınız.

x + y = 16 + 16 = 32 elde edilir.

Soru kökünde bizden istenen x ve y değerlerinin toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde eleman kavramı, parantezli elemanların tespiti ve alt küme sayılarının hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 4Question →

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(A \setminus (B \cup C)) = s(B \setminus (A \cup C)) = s(C \setminus (A \cup B))$
* $s((A \cap B) \setminus C) = s((B \cap C) \setminus A) = s((A \cap C) \setminus B)$
* $A \cap B \cap C$ kümesinin eleman sayısı, $A \setminus (B \cup C)$ kümesinin eleman sayısından $3$ eksiktir.
* $s(A \cup B \cup C) = 42$

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Kesişim kümesinin eleman sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 30'dur.

Venn şemasındaki bölgelerin eleman sayıları analiz edildiğinde

s(A \cap B)

ifadesinin alabileceği farklı değerlerin 9, 10 ve 11 olduğu görülür. Bu değerlerin toplamı da 30 yapar.

Step-by-Step Solution

1

Venn şemasındaki ayrık bölgelerin eleman sayıları için değişkenler tanımlanır.

a = s(A \setminus (B \cup C)) = s(B \setminus (A \cup C)) = s(C \setminus (A \cup B))

,

b = s((A \cap B) \setminus C) = s((B \cap C) \setminus A) = s((A \cap C) \setminus B)

ve

c = s(A \cap B \cap C)

tanımlanır.

Kümelerdeki birleşim ve kesişim işlemlerini cebirsel olarak ifade edebilmek için bölgelerin eleman sayılarını değişkenlerle temsil etmek gerekir.

2

Verilen koşullara göre denklemleri kuralım.

c = a - 3

ve

s(A \cup B \cup C) = 3a + 3b + c = 42

denklemleri elde edilir.

Kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkileri matematiksel denklemlere dökmek için.

3

Elde edilen denklemleri birleştirip tek bir Diofant denklemi elde edelim.

3a + 3b + (a - 3) = 42 \implies 4a + 3b = 45

denklemi bulunur.

Değişkenler arasındaki ilişkiyi sadeleştirerek olası değerleri bulmak için.

4

Kümelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı koşulunu kullanarak (

a \ge 3

,

b \ge 0

,

c \ge 0

) denklemin tam sayı çözümlerini bulalım.

a

sayısı 3'ün katı olmalıdır. Olası

(a, b, c)

değerleri: (3, 11, 0), (6, 7, 3) ve (9, 3, 6) şeklindedir.

Küme eleman sayısının doğal sayı olması gerektiği sınırlandırmasından yararlanarak çözüm kümesini belirlemek için.

5

Her durum için

s(A \cap B) = b + c

değerini hesaplayıp alabileceği farklı değerlerin toplamını bulalım.

Olası

s(A \cap B)

değerleri sırasıyla

11 + 0 = 11

,

7 + 3 = 10

ve

3 + 6 = 9

olup, toplamları

11 + 10 + 9 = 30

olarak bulunur.

Bizden istenen kesişim kümesinin eleman sayısının alabileceği değerler toplamını nihai olarak hesaplamak için.

Key Concept

Venn şemasında bölgelere ayrarak küme işlemlerini cebirsel modelleme ve Diofant denklemlerinin çözümü

Estimated Time:3m 0s

Question 5Question →

Bir iş yerindeki $35$ çalışanın tamamı çay, kahve veya meyve suyu ikramlarından en az birini almıştır. Bu çalışanların ikramları alma durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sadece çay, sadece kahve ve sadece meyve suyu alanların sayıları birbirine eşittir.
* Çay ve kahve alanların sayısı, çay ve meyve suyu alanların sayısına eşittir.
* Sadece çay ve kahve alanların sayısı, sadece kahve ve meyve suyu alanların sayısının $2$ katıdır.
* En az iki ikram alanların sayısı, üç ikramı da alanların sayısının $2$ katıdır.

Buna göre, bu iş yerinde çay ikramı alan çalışan sayısı kaçtır?

13

15

19

23

25

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

Çay ikramı alan çalışan sayısı 23'tür.

Çay ikramı alanların sayısı, çay kümesini oluşturan tüm alt bölgelerin toplamıdır. Kurulan denklem sisteminden elde edilen tek tam sayı çözümü

x=5, f=2

olup bu değerler yerlerine yazıldığında çay içenlerin sayısı

5 + 4 + 4 + 10 = 23

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Küme bölgelerini değişkenlerle tanımlama

Çay (

Ç

), Kahve (

K

) ve Meyve Suyu (

M

) kümeleri tanımlanır. Sadece bir içecek alanlar:

s(\text{Sadece } Ç) = s(\text{Sadece } K) = s(\text{Sadece } M) = x

olsun. Sadece iki içecek alanlar:

d

(sadece çay ve kahve),

e

(sadece çay ve meyve suyu),

f

(sadece kahve ve meyve suyu) olsun. Üçünü de alanlar ise

g

olarak adlandırılır.

Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atanır.

2

Koşullara göre denklemleri kurma

1. Çay ve kahve alanlar ile çay ve meyve suyu alanlar eşit olduğundan:

d + g = e + g \Rightarrow d = e

.
2. Sadece çay ve kahve alanlar, sadece kahve ve meyve suyu alanların 2 katı olduğundan:

d = 2f

(dolayısıyla

e = 2f

).
3. En az iki ikram alanlar, üçünü de alanların 2 katı olduğundan:

d + e + f + g = 2g \Rightarrow d + e + f = g

elde edilir.

Verilen tüm ipuçlarını matematiksel eşitlikler haline getirerek değişkenler arası geçiş sağlamak.

3

Değişkenleri tek bir bilinmeyen cinsinden yazma

d = 2f

,

e = 2f

ve

g = 2f + 2f + f = 5f

olarak bulunur.

Denklemleri çözebilmek için bilinmeyen sayısını en aza indirmek gerekir.

4

Toplam çalışan sayısından Diophantine denklemini kurma ve çözme

Toplam =

3x + d + e + f + g = 35 \Rightarrow 3x + 2f + 2f + f + 5f = 35 \Rightarrow 3x + 10f = 35

elde edilir.

x

ve

f

kişi sayısı temsil ettiğinden pozitif tam sayı olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi

f = 2

ve

x = 5

değerleridir. Buna göre bölgeler:

x = 5

,

d = 4

,

e = 4

,

f = 2

,

g = 10

olarak belirlenir.

Toplam çalışan sayısını kullanarak bilinmeyenlerin değerlerini tam sayı analizine göre saptamak.

5

Çay alan çalışan sayısını hesaplama

s(Ç) = x + d + e + g = 5 + 4 + 4 + 10 = 23

bulunur.

Çay kümesinin tamamına ait olan tüm bölgelerin eleman sayıları toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Üçlü küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem kurma ve tam sayı kısıtlarına göre çözümleme yapma.

Question 6Question →

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı İngilizce ve Almanca kurslarından en az birine gitmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* İngilizce kursuna giden öğrenci sayısı, Almanca kursuna giden öğrenci sayısının $2$ katıdır.
* Sadece Almanca kursuna giden öğrenci sayısı, her iki kursa da giden öğrenci sayısından fazladır.

Bu sınıfta toplam $36$ öğrenci olduğuna göre, her iki kursa da giden öğrenci sayısı en çok kaçtır?

6

7

9

12

15

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Her iki kursa da giden öğrenci sayısı en çok 6'dır.

Küme bölgeleri harflendirildiğinde elde edilen

3b + 2x = 36

denklemine göre,

b

değerinin bir tam sayı olabilmesi için

x

değeri

3

'ün katı olmalıdır. Sadece Almanca kursuna giden öğrenci sayısı (

b

), her iki kursa giden öğrenci sayısından (

x

) fazla olduğuna göre

b > x

eşitsizliği yazılır. Bu eşitsizlikte

b

yerine

12 - \frac{2}{3}x

yazıldığında

x < 7,2

elde edilir.

7,2

değerinden küçük ve

3

'ün katı olan en büyük pozitif tam sayı

6

olduğundan, her iki kursa giden öğrenci sayısı en çok 6 olabilir.

Step-by-Step Solution

1

Küme bölgelerini harflendirerek temel denklemi yazın.

İngilizce ve Almanca kurslarına giden öğrencilerin kümesi sırasıyla

İ

ve

A

olsun. Sadece İngilizceye gidenler

a

, sadece Almancaya gidenler

b

ve her iki kursa birden gidenler

x

olsun. Sınıfta kursa gitmeyen öğrenci bulunmadığından

a + b + x = 36

olur.

Soruda verilen toplam öğrenci sayısını cebirsel olarak ifade etmek için.

2

Kurslara katılan toplam öğrenci sayıları arasındaki kat ilişkisini kurun.

İngilizce kursuna giden toplam öğrenci sayısı

s(İ) = a + x

ve Almanca kursuna giden toplam öğrenci sayısı

s(A) = b + x

olur. Verilen bilgiye göre:

a + x = 2(b + x) \implies a + x = 2b + 2x \implies a = 2b + x

elde edilir.

İngilizce kursuna gidenlerin Almanca kursuna gidenlerin 2 katı olduğunu denklem haline getirmek için.

3

Elde edilen ifadeleri toplam öğrenci sayısı denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.

a = 2b + x

ifadesi

a + b + x = 36

denkleminde yerine yazılırsa:

(2b + x) + b + x = 36 \implies 3b + 2x = 36

bulunur. Buradan

3b = 36 - 2x

veya

b = 12 - \frac{2}{3}x

elde edilir.

b

bir öğrenci sayısı (tam sayı) olmak zorunda olduğundan,

x

değeri

3

'ün katı olmalıdır.

İki bilinmeyenli tek bir denklem elde ederek değişkenler arasındaki bölünebilirlik ilişkisini belirlemek için.

4

Verilen eşitsizlik koşulunu uygulayarak sınır değerini bulun.

Sadece Almanca kursuna gidenlerin sayısı (

b

), her iki kursa gidenlerin sayısından (

x

) fazla olduğuna göre

b > x

olmalıdır.

b

yerine

12 - \frac{2}{3}x

yazılırsa:

12 - \frac{2}{3}x > x \implies 12 > \frac{5}{3}x \implies 36 > 5x \implies x < 7,2

elde edilir.

Her iki kursa giden ö��renci sayısının üst sınırını belirlemek için.

5

Sınır değerine ve bölünebilirlik kuralına uygun en büyük de��eri seçin.

x

sayısı hem

7,2

değerinden küçük olmalı hem de

3

'ün katı bir pozitif tam sayı olmalıdır. Bu koşulları sağlayan

x

değerleri

3

veya

6

olabilir. En çok dendiği için

x = 6

seçilir.

Soruda istenen maksimum değeri bulmak için.

Key Concept

Küme problemlerinde sözel ifadelerin Venn şeması bölgelerine doğru yerleştirilmesi, elde edilen denklemlerde kişi sayılarının pozitif tam sayı olma koşulunun kullanılması ve eşitsizlik sınırlarının belirlenmesi.

Alternative Method

Soruyu çözerken formüller yerine doğrudan bir Venn şeması çizerek bölgelere sırasıyla

x

,

a

ve

b

yazıp denklemleri şema üzerinde görselleştirmek, hata yapma riskini azaltır ve hangi bölgenin hangi koşulla sınırlı olduğunu net görmeyi sağlar.

Estimated Time:2m 0s

Question 7Question →

$p$ : " $0$ sayısı pozitif bir tam sayıdır."
$q$ : "Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı tektir."
$r$ : "Her tam sayı bir rasyonel sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

p \lor q

p \land r

q \Rightarrow p

r \Rightarrow q

p \Leftrightarrow r

Show answer & explanation

Answer: $q \Rightarrow p$

Answer

q ise p bileşik önermesi

q önermesi yanlış (0) ve p önermesi yanlış (0) olduğundan, q ise p bileşik önermesi 0 ise 0 durumunu oluşturur. Koşullu önermenin tanımı gereği bu ifadenin doğruluk değeri 1'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen temel önermelerin doğruluk değerlerini belirleme

p önermesi yanlış olduğu için 0, q önermesi yanlış olduğu için 0, r önermesi doğru olduğu için 1 değerini alır.

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulmak için önce onları oluşturan basit önermelerin doğruluk değerlerini bulmalıyız.

2

Seçeneklerdeki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama

q ise p bileşik önermesi 0 ise 0 ifadesine denk gelir ve sonucu 1'dir.

İse bağlacında sadece 1 ise 0 durumu 0 sonucunu verir, diğer durumlarda sonuç 1'dir.

Key Concept

Önermeler ve Mantık Bağlaçları

Estimated Time:1m 0s

Question 8Question →

Matematik dersinde öğretmen, tahtaya yazılı olan $p \Rightarrow (q \vee r)$ önermesinin karşıt tersini bulmalarını istemiştir. Buna göre, bu önermenin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?

(q \vee r) \Rightarrow p

p' \Rightarrow (q' \wedge r')

(q' \wedge r') \Rightarrow p'

(q' \vee r') \Rightarrow p'

(q' \wedge r') \Rightarrow p

Show answer & explanation

Answer: $(q' \wedge r') \Rightarrow p'$

Answer

(q' \wedge r') \Rightarrow p'

önermesidir.

Koşullu önermenin karşıt tersi bulunurken önermenin bileşenleri yer değiştirir ve değilleri alınır. Buradan elde edilen ifade De Morgan kurallarıyla sadeleştirildiğinde doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Koşullu önermenin karşıt tersi kuralını belirleme.

Bir

A \Rightarrow B

önermesinin karşıt tersi

B' \Rightarrow A'

önermesidir. Bu durumda,

p \Rightarrow (q \vee r)

önermesinin karşıt tersi

(q \vee r)' \Rightarrow p'

olur.

Koşullu önermelerde karşıt ters, bileşenlerin yerlerinin değiştirilip değillerinin alınmasıyla elde edilir.

2

De Morgan kurallarını kullanarak

(q \vee r)'

ifadesini sadeleştirme.

(q \vee r)' \equiv q' \wedge r'

denkliği elde edilir.

Veya bağlacının değilini alırken bileşenlerin değili alınır ve bağlaç 've' bağlacına dönüşür.

3

Elde edilen sonuçları birleştirerek karşıt ters önermesini yazma.

(q' \wedge r') \Rightarrow p'

önermesi bulunur.

İlk adımda bulduğumuz

(q \vee r)' \Rightarrow p'

ifadesinde

(q \vee r)'

yerine eşdeğeri olan

q' \wedge r'

yazılır.

Key Concept

Koşullu önermenin karşıt tersi ve De Morgan kuralları

Question 9Question →

A

ve

B

kümeleri için,

s(A \setminus B) = 3

s(B \setminus A) = 4

s(A \cup B) = 9

olduğuna göre,

(A \times B) \setminus (B \times A)

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Doğru cevap 26'dır.

(A \times B) \setminus (B \times A)

kümesinin eleman sayısı,

A \times B

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısından

(A \cap B) \times (A \cap B)

ortak kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır.

Doğru cevap 26'dır. Verilen küme eleman sayılarından hareketle

s(A \cap B) = 2

olarak bulunur. Buradan

s(A) = 5

ve

s(B) = 6

elde edilir. Toplam kartezyen çarpım eleman sayısı

s(A \times B) = 30

iken, hem

A \times B

hem de

B \times A

kümesinde ortak bulunan elemanlar

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesinin elemanlarıdır ve sayısı

2 \cdot 2 = 4

'tür. Fark kümesinin eleman sayısı ise

30 - 4 = 26

olur.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak.

s(A \cap B) = 2

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

bağıntısı kullanılarak iki kümenin kesişiminin eleman sayısı hesaplanır.

2

A ve B kümelerinin eleman sayılarını hesaplamak.

s(A) = 5

ve

s(B) = 6

Bir kümenin eleman sayısı, fark kümesi ile kesişim kümesinin eleman sayılarının toplamına eşittir.

3

A x B kartezyen çarpımının eleman sayısını bulmak.

s(A \times B) = 30

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımı ile bulunur:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

.

4

İki kartezyen çarpım kümesinin ortak elemanlarının sayısını bulmak.

s((A \times B) \cap (B \times A)) = 4

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B)

eşitliği gereği ortak sıralı ikililerin sayısı

(s(A \cap B))^2 = 4

olur.

5

Fark kümesinin eleman sayısını hesaplamak.

26

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A)) = 30 - 4 = 26

işlemi ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ve kartezyen çarpımın küme işlemleriyle ilişkisi.

Question 10Question →

Bir kahve dükkanında sipariş veren $48$ müşterinin tamamı; süt ( $S$ ), şurup ( $Ş$ ) ve buz ( $B$ ) ilavelerinden en az birini tercih etmiştir.

Bu müşterilerin tercihleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Bu ilavelerden yalnızca ikisini tercih eden müşteri sayısı, üçünü de tercih eden müşteri sayısının $3$ katıdır.
* Yalnızca bir ilave tercih eden müşteri sayısı, en az iki ilave tercih eden müşteri sayısının $2$ katıdır.
* Süt ilavesini tercih eden müşteri sayısı $26$ , şurup ilavesini tercih eden müşteri sayısı $24$ 'tür.

Buna göre, bu müşterilerden kaç tanesi buz ilavesini tercih etmiştir?

14

16

18

20

22

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Buz ilavesini tercih eden müşteri sayısı 18'dir.

Verilen oranlar ve toplam müşteri sayısından yola çıkılarak bölge toplamları belirlenir. Süt ve şurup ilavesi tercih edenlerin denklemleri taraf tarafa toplandığında elde edilen cebirsel ifade ile yalnız bir ilave tercih edenlerin toplamı birleştirildiğinde buz ilavesi tercih edenlerin sayısı olan 18 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen oranları kullanarak küme bölgelerini temsil eden değişkenleri belirleyelim.

Üç ilaveyi de tercih edenlerin sayısı

x

olsun. Yalnızca iki ilaveyi tercih edenlerin sayısı

3x

olur. En az iki ilaveyi tercih edenlerin sayısı

3x + x = 4x

olur. Yalnızca bir ilaveyi tercih edenlerin sayısı ise

2 \times 4x = 8x

olur. Toplam müşteri sayısı

8x + 3x + x = 12x = 48

olarak verildiğinden

x = 4

bulunur. Buradan; üçünü de tercih edenlerin sayısı

4

, yalnızca ikisini tercih edenlerin sayısı

12

, yalnızca birini tercih edenlerin sayısı

32

olarak elde edilir.

Mevcut verilerden yararlanarak kümenin temel bölge toplamlarını sayısal değerlere dönüştürmek gerekir.

2

Küme bölgelerini harflendirerek süt ve şurup kümelerinin eleman sayılarını veren denklemleri kuralım.

Yalnızca Süt alanlar

a

, yalnızca Şurup alanlar

b

, yalnızca Buz alanlar

c

olsun (

a + b + c = 32

). Sadece Süt ve Şurup alanlar

d

, sadece Şurup ve Buz alanlar

e

, sadece Süt ve Buz alanlar

f

olsun (

d + e + f = 12

). Üçünü de alanların sayısı

g = 4

olsun. Süt tercih edenler:

a + d + f + 4 = 26 \implies a + d + f = 22

(Denklem 1). Şurup tercih edenler:

b + d + e + 4 = 24 \implies b + d + e = 20

(Denklem 2).

Süt ve şurup tercih eden müşteri sayılarını bölgelerin harflendirilmiş ifadeleri cinsinden yazarak ortak çözüme zemin hazırlamak gerekir.

3

Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayıp bilinen toplamları yerine yazarak buz kümesinin eleman sayısını bulalım.

Denklem 1 ve Denklem 2 taraf tarafa toplanırsa:

a + b + 2d + e + f = 42

elde edilir. Burada

a + b = 32 - c

ve

e + f = 12 - d

değerleri yerine yazılırsa:

(32 - c) + 2d + (12 - d) = 42 \implies 44 - c + d = 42 \implies c - d = 2

bulunur. Bizden istenen buz tercih edenlerin sayısı:

s(B) = c + e + f + 4 = c + (12 - d) + 4 = c - d + 16

şeklindedir. Burada

c - d = 2

yazılırsa

s(B) = 2 + 16 = 18

olarak hesaplanır.

Her bir bölgenin eleman sayısı tek tek bulunamasa da, cebirsel sadeleştirme ile buz kümesinin eleman sayısı doğrudan bulunabilir.

Key Concept

Küme Problemleri ve Denklem Kurma

Question 11Question →

$A = \{1, \{3\}, \{1, 4\}, 5\}$ kümesi veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

\{1, 4\} \subset A

\{3\} \subset A

\{\{3\}\} \subset A

1 \subset A

\{5\} \in A

Show answer & explanation

Answer: $\{\{3\}\} \subset A$

Answer

Süslü parantez içinde 3 elemanını barındıran kümenin alt küme olduğunu belirten ifade doğrudur.

Kümenin elemanlarından biri

\{3\}

'tür. Bir elemanın küme parantezine alınmasıyla alt küme elde edilir. Dolayısıyla

\{\{3\}\} \subset A

ifadesi doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını belirleyin.

A

kümesinin elemanları

1

,

\{3\}

,

\{1, 4\}

ve

5

olmak üzere

4

tanedir.

Eleman ve alt küme ilişkilerini doğru kurabilmek için öncelikle kümenin elemanlarının net olarak tanımlanması gerekir.

2

Eleman sembolü (

\in

) ve alt küme sembolü (

\subset

) kurallarını uygulayın.

Bir

x

elemanı için

x \in A

yazılırken, bu elemanı içeren

\{x\}

kümesi için

\{x\} \subset A

yazılır. Kümede

\{3\}

bir eleman olduğu için (

\{3\} \in A

), onu liste içine aldığımızda alt küme elde ederiz (

\{\{3\}\} \subset A

).

Key Concept

Kümelerde eleman ve alt küme sembollerinin kullanımı

Estimated Time:1m 30s

Question 12Question →

Bir sınıftaki öğrenciler İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerin dilleri bilme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İngilizce bilenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sayısının $3$ katıdır.
* Sadece bir dil bilenlerin sayısı, en az iki dil bilenlerin sayısına eşittir.
* Almanca ve Fransızca dillerinin her ikisini de bilen öğrenci bulunmamaktadır.

Sınıf mevcudu $40$ 'tan az olduğuna göre, Fransızca bilen öğrenci sayısı en çok kaçtır?

28

29

30

32

33

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Fransızca bilen öğrenci sayısı en çok 30 olabilir.

Doğru cevap 30'dur. Küme probleminin koşulları cebirsel olarak ifade edilip

b = 0

seçildiğinde Fransızca bilenlerin sayısı

3z - x

olur.

2x \ge z

sınır koşulu ve sınıf mevcudunun en çok 38 (

x+z \le 19

) olabileceği dikkate alındığında,

x+z = 18

ve

z = 12, x = 6

değerleri için tüm bölgeler pozitif tam sayı kalırken Fransızca bilen sayısı en fazla 30 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Almanca ve Fransızca dillerini birlikte bilen öğrenci bulunmadığından

A \cap F = \emptyset

olarak belirlenir. Venn şemasındaki bölgeler harflendirilir: Sadece İngilizce bilenler

a

, sadece Almanca bilenler

b

, sadece Fransızca bilenler

c

, İngilizce ve Almanca bilenler

x

, İngilizce ve Fransızca bilenler

z

olsun.

s(I) = a + x + z

,

s(A) = b + x

ve

s(F) = c + z

olarak tanımlanır.

Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel değişkenlere dönüştürmek için.

2

Verilen koşullara göre denklemler kurulur. İngilizce bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin 3 katıdır:

a + x + z = 3(b + x) \implies a = 3b + 2x - z

. Sadece bir dil bilenlerin sayısı en az iki dil bilenlere eşittir:

a + b + c = x + z

(çünkü

A \cap F = \emptyset

olduğundan başka kesişim bölgesi yoktur).

c = x + z - a - b

ifadesinde

a

yerine yazıldığında

c = 2z - x - 4b

bulunur.

Bilinmeyen sayısını azaltıp Fransızca bilenlerin sayısını (

s(F) = c + z

) tek bir cebirsel ifadeye indirgemek için.

3

Sınıf mevcudu (

N

) ifadesi düzenlenir ve eşitsizlik sınırları belirlenir.

N = a + b + c + x + z = 2(x + z) < 40 \implies x + z \le 19

(sınıf mevcudu tam sayı olmak zorunda olduğundan).

x + z \le 19

sınır koşulu elde edilir.

Sınıf mevcudunun üst sınırını kullanarak değişkenlerin aralığını daraltmak için.

4

s(F) = c + z = 3z - x - 4b

ifadesinin en büyük değeri için

b = 0

seçilir. Bölgelerdeki eleman sayılarının negatif olamayacağı sınır durumları (

a \ge 0 \implies 2x \ge z

ve

c \ge 0 \implies 2z \ge x

) altında maksimum değer aranır.

x+z=18

için en büyük

z=12, x=6

seçildiğinde

s(F) = 3(12) - 6 - 0 = 30

bulunur.

x+z=19

için en büyük

z=12, x=7

seçildiğinde

s(F) = 29

bulunur.

Tam sayı sınır koşullarını sağlayan en büyük değeri bulmak için.

Key Concept

Cebirsel Modelleme ve Eşitsizlik Sınırları Yardımıyla Küme Problemlerinin Çözümü

Alternative Method

Cebirsel denklemleri yazdıktan sonra Venn şemasında bölgeleri doğrudan sayısal olarak deneyerek de sınırlar görülebilir; ancak en büyük değeri garantilemek için

2x \ge z

eşitsizliğini kurmak en güvenli yoldur.

Estimated Time:3m 0s

Question 13Question →

$p: "(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8)"$

önermesi veriliyor.

Buna göre, $p$ önermesinin değili ( $p'$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\forall x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 > 8

\forall x \in \mathbb{N}, \ 3x + 2 \geq 8

\forall x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 \geq 8

\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 > 8

\exists x \in \mathbb{N}, \ 3x + 2 \geq 8

Show answer & explanation

Answer: $\forall x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 \geq 8$

Answer

Her x elemandır tam sayı için, 3x + 2 büyük veya eşittir 8

Verilen

p

önermesi "en az bir

x

tam sayısı için

3x + 2 < 8

" şeklindedir. Bu önermenin değili alınırken: 1) 'En az bir' (

\exists

) niceleyici 'her' (

\forall

) niceleyicisine dönüşür. 2) Değişkenin tanımlı olduğu tam sayılar kümesi (

\mathbb{Z}

) aynen korunur. 3) Açık önermedeki '

<

' eşitsizliği '

\geq

' eşitsizliğine dönüşür. Bu kurallar uygulandığında doğru değil önermesi 'her

x

tam sayısı için

3x + 2 \geq 8

' ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1

Niceleyicinin değilini belirleyin.

"En az bir" (

\exists

) niceleyicisinin değili "her" (

\forall

) niceleyicisidir.

Mantık kurallarına göre bir niceleyicinin değili diğer niceleyicidir.

2

Tanım kümesini kontrol edin.

Tanım kümesi olan tam sayılar kümesi (

\mathbb{Z}

) değişmeden kalır.

Önermelerin değili alınırken değişkenin tanımlı olduğu evrensel küme değişmez.

3

Açık önermedeki eşitsizliğin değilini alın.

"Küçüktür" (

<

) sembolünün değili "büyük veya eşittir" (

\geq

) sembolüdür. Dolayısıyla

3x + 2 < 8

ifadesinin değili

3x + 2 \geq 8

olur.

Bir eşitsizlik ifadesinin değili, o ifadenin tümleyenini kapsar.

4

Elde edilen tüm parçaları birleştirin.

p'

önermesi "

\forall x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 \geq 8

" olarak bulunur.

Tüm adımlardaki değilleme kuralları bir araya getirilerek nihai değil önermesi elde edilir.

Key Concept

Açık Önermelerin Değili ve Niceleyicilerin Olumsuzu

Question 14Question →

$x$ ve $y$ gerçel sayıları için

$p: x \cdot y < 0$
$q: x + y > 0$
$r: x^2 > y^2$

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \lor (r \Rightarrow q)

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

x - y > 0

x \cdot (x + y) < 0

y \cdot (x + y) < 0

x^2 < y^2

x + y \geq 0

Show answer & explanation

Answer: $y \cdot (x + y) < 0$

Answer

y * (x + y) < 0 ifadesinin negatif olması her zaman doğrudur.

Bileşik önermenin yanlış olabilmesi için veya bağlacının her iki yanındaki ifadelerin de yanlış olması gerekir. Buradan

p \Rightarrow q \equiv 0

ve

r \Rightarrow q \equiv 0

elde edilir. Koşullu önermenin yanlış olduğu tek durum birincinin doğru, ikincinin yanlış olduğu durumdur. Dolayısıyla

p \equiv 1

,

r \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır. Bu durumda

x \cdot y < 0

(zıt işaretli sayılar),

|x| > |y|

(x mutlak değerce y'den büyük) ve

x + y \leq 0

(toplamları sıfırdan küçük veya eşit) bulunur. Zıt işaretli iki sayının toplamı negatif ve mutlak değerleri farklı olduğuna göre, mutlak değerce büyük olan

x

negatif (

x < 0

),

y

ise pozitif (

y > 0

) olmalıdır. Ayrıca

x + y < 0

olduğu kesindir. Buradan pozitif olan

y

ile negatif olan

x + y

çarpıldığında sonuç daima negatif olacağından bu çarpımı içeren ifade her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Bileşik önermenin doğruluk değerlerini mantık kurallarına göre analiz etmek.

p \equiv 1

,

r \equiv 1

ve

q \equiv 0

doğruluk değerleri elde edilir.

Veya bağlacının yanlış olması için her iki tarafın da yanlış olması, ise bağlacının yanlış olması için ise ilk önermenin doğru, ikincisinin yanlış olması gerekir.

2

Önermelerin doğruluk değerlerini matematiksel eşitsizliklere dönüştürmek.

x \cdot y < 0

,

x^2 > y^2

ve

x + y \leq 0

eşitsizlikleri kurulur.

Önermelerin doğruluk değerleri, içerdikleri matematiksel ifadelerin doğru ya da yanlış olduğunu gösterir.

3

Eşitsizliklerden yararlanarak x ve y değişkenlerinin işaretlerini belirlemek.

x < 0

ve

y > 0

olduğu tespit edilir.

Zıt işaretli iki sayının toplamının negatif olabilmesi için mutlak değerce büyük olan sayının negatif olması gerekir.

4

Bulunan işaretler ve eşitsizlikler yardımıyla seçenekleri değerlendirmek.

y > 0

ve

x + y < 0

olduğundan bunların çarpımı daima negatif (

y(x+y) < 0

) olur.

Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı daima negatiftir.

Key Concept

Önermeler, mantık bağlaçları ve eşitsizlik sistemleri ile ilişkisi

Estimated Time:2m 30s

Question 15Question →

Bir $A$ kümesi

A = \{ 2, \{3\}, \{2, 3\}, \emptyset \}

olarak veriliyor.

Buna göre,

I. $\{2, 3\} \in A$
II. $\{2, 3\} \subset A$
III. $\{\{3\}\} \subset A$
IV. $\{\emptyset\} \subset A$
V. $s(A) = 5$

ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Doğru olan ifadeler I, III ve IV olduğundan, toplamda 3 ifade doğrudur.

Doğru olan ifadeler I, III ve IV numaralı ifadelerdir. Toplamda 3 ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını belirleme

A = \{ 2, \{3\}, \{2, 3\}, \emptyset \}

kümesinin elemanları sırasıyla

2

,

\{3\}

,

\{2, 3\}

ve

\emptyset

olup eleman sayısı

s(A) = 4

’tür.

Öncülleri doğru bir şekilde değerlendirebilmek için kümenin eleman yapısını ve sayısını netleştirmek gerekir.

2

Eleman sembolü içeren öncülleri (I ve V) inceleme

I.

\{2, 3\} \in A

ifadesi doğrudur, çünkü

\{2, 3\}

kümenin bir elemanıdır. V.

s(A) = 5

ifadesi yanlıştır, çünkü kümenin eleman sayısı 4'tür.

Kümeye ait elemanlar doğrudan liste yöntemindeki virgüllerle ayrılmış nesnelerdir.

3

Alt küme sembolü içeren öncülleri (II, III ve IV) inceleme

II.

\{2, 3\} \subset A

ifadesi yanlıştır, çünkü

3 \notin A

’dır. III.

\{\{3\}\} \subset A

ifadesi doğrudur, çünkü

\{3\} \in A

’dır. IV.

\{\emptyset\} \subset A

ifadesi doğrudur, çünkü

\emptyset \in A

’dır.

Bir

X

kümesinin

A

’nın alt kümesi olması (

X \subset A

) için

X

’in her elemanının

A

’nın da elemanı olması gerekir.

Key Concept

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Sembollerinin Kullanımı ve Eleman Sayısı

Question 16Question →

$A = \{ 2, \{3\}, \{2, 3\}, 4, \{4\} \}$ kümesi veriliyor.

Buna göre,

I. $\{2, \{3\}\} \subset A$

II. $\{2, 3\} \in A$

III. $\{4\} \subset A$

IV. $\{3\} \subset A$

V. $\{\{4\}\} \subset A$

ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Doğru olan ifadelerin sayısı 4'tür.

Verilen ifadeler incelendiğinde I, II, III ve V numaralı ifadeler kümenin eleman ve alt küme tanımlarına tam olarak uymakta ve doğrulanmaktadır. IV numaralı ifadede ise 3 elemanı A kümesinin doğrudan bir elemanı olmadığı için alt küme ilişkisi kurulamaz ve bu ifade yanlıştır. Dolayısıyla doğru olan ifadelerin sayısı 4'tür.

Step-by-Step Solution

1

Kümenin elemanlarını açıkça listeleyelim.

A

kümesinin elemanları:

2

,

\{3\}

,

\{2, 3\}

,

4

ve

\{4\}

olmak üzere 5 tanedir.

Alt küme ve eleman ilişkilerini doğru analiz edebilmek için öncelikle kümenin eleman sınırlarını doğru belirlememiz gerekir.

2

I. öncülü inceleyelim.

\{2, \{3\}\} \subset A

ifadesi doğrudur.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için tüm elemanlarının

A

kümesine ait olması gerekir.

2 \in A

ve

\{3\} \in A

koşulları sağlandığından bu ifade doğrudur.

3

II. öncülü inceleyelim.

\{2, 3\} \in A

ifadesi doğrudur.

A

kümesinin eleman listesine bakıldığında

\{2, 3\}

ifadesi doğrudan bir eleman olarak yer almaktadır.

4

III. öncülü inceleyelim.

\{4\} \subset A

ifadesi doğrudur.

4 \in A

olduğu için, bu elemanı içeren tek elemanlı

\{4\}

kümesi

A

kümesinin bir alt kümesidir.

5

IV. öncülü inceleyelim.

\{3\} \subset A

ifadesi yanlıştır.

\{3\}

kümesinin

A

'nın alt kümesi olabilmesi için

3 \in A

olmalıdır. Ancak

3

sayısı

A

kümesinin bir elemanı değildir (yalnızca

\{3\}

kümesi elemandır).

6

V. öncülü inceleyelim.

\{\{4\}\} \subset A

ifadesi doğrudur.

\{\{4\}\}

kümesinin alt küme olabilmesi için içerdiği

\{4\}

elemanının

A

'nın elemanı olması gerekir.

\{4\} \in A

olduğu için bu ifade doğrudur.

Key Concept

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Sembollerinin Ayrımı

Estimated Time:2m 0s

Question 17Question →

Bir seyahat acentesinin düzenlediği tura katılan $70$ turistin her biri Efes ( $E$ ), Kapadokya ( $K$ ) ve Pamukkale ( $P$ ) ören yerlerinden en az birini ziyaret etmiştir.

Bu turistlerin ziyaret ettikleri yerlerle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* Sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısı, sadece Efes'i ziyaret edenlerin sayısının $2$ katıdır.
* Sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin sayısı, Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edip Pamukkale'yi ziyaret etmeyenlerin sayısına eşittir.
* Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edip Kapadokya'yı ziyaret etmeyenlerin sayısı, Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edip Efes'i ziyaret etmeyenlerin sayısına eşittir.
* Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısı $26$ 'dır.
* Sadece bir ören yerini ziyaret eden toplam turist sayısı $36$ 'dır.
* Her üç ören yerini de ziyaret eden turist sayısı $8$ 'dir.

Buna göre, bu grupta Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı kaçtır?

30

34

42

36

38

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı 42'dir.

Kapadokya'yı ziyaret eden turistlerin toplam sayısı, Kapadokya kümesinin alt bölgelerindeki tüm elemanların (sadece Kapadokya'yı ziyaret edenler, sadece Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenler, sadece Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edenler ve her üçünü de ziyaret edenler) toplamı olan

12 + 18 + 4 + 8 = 42

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Venn şemasındaki bölgeleri değişkenlerle ifade edelim. Sadece Efes'i ziyaret edenlere

a

, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlere

b

, sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlere

c

diyelim. Sadece Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlere

x

, sadece Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edenlere

y

, sadece Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edenlere

z

diyelim. Her üçünü ziyaret edenler

t = 8

olarak verilmiştir.

Değişkenler:

a, b, c, x, y, z

ve

t = 8

.

Problemdeki sözel ifadeleri matematiksel modelleme için değişkenlere aktarmak.

2

Soruda verilen bilgileri bu değişkenler cinsinden denklem haline getirelim:
1.

b = 2a

2.

c = x

3.

y = z

4. Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlerin toplamı:

x + t = 26 \implies x + 8 = 26 \implies x = 18

5. Sadece bir yeri ziyaret edenler:

a + b + c = 36

6. Toplam turist sayısı:

a + b + c + x + y + z + t = 70

x = 18

denklemi ve diğer ilişkiler elde edildi.

Verilen kısıtları matematiksel denklemlere dönüştürmek.

3

x = 18

ve

c = x

olduğundan

c = 18

bulunur. Bu değeri sadece bir yeri ziyaret edenler denkleminde yerine yazalım:

a + b + 18 = 36 \implies a + b = 18

.

b = 2a

yazarak

a + 2a = 18 \implies 3a = 18 \implies a = 6

ve

b = 12

bulunur.

a = 6

,

b = 12

,

c = 18

,

x = 18

.

Elde edilen verilerle tek değişkenli denklemleri çözmek.

4

Bulduğumuz değerleri toplam turist sayısı denkleminde yerine yerleştirerek

y

ve

z

değerlerini bulalım:

6 + 12 + 18 + 18 + y + z + 8 = 70 \implies 62 + y + z = 70 \implies y + z = 8

.

y = z

olduğundan

2y = 8 \implies y = 4

ve

z = 4

elde edilir.

y = 4

ve

z = 4

.

Kesişim bölgelerindeki eksik eleman sayılarını tamamlamak.

5

Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısını bulmak için Kapadokya kümesinin (

K

) elemanlarını toplayalım:

s(K) = b + x + z + t = 12 + 18 + 4 + 8 = 42

olarak bulunur.

s(K) = 42

.

İstenen kümenin eleman sayısını hesaplamak.

Key Concept

Üçlü küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem kurma ve küme eleman sayılarını bulma.

Estimated Time:2m 0s

Question 18Question →

$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi olmak üzere, $p(x): '2x - 5 > 3'$ açık önermesi veriliyor. Buna göre, bu açık önermenin doğruluk kümesinin en küçük elemanının 5 olduğu iddiası doğru bir önerme midir?

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Açık önermenin doğruluk kümesinin en küçük elemanı 5'tir.

Verilen açık önermeyi sağlayan doğal sayıların oluşturduğu doğruluk kümesi

\{5, 6, 7, \dots\}

şeklindedir ve bu kümenin en küçük elemanı gerçekten 5'tir.

Step-by-Step Solution

1

Açık önermedeki eşitsizliği çözmek.

2x > 8 \Rightarrow x > 4

eşitsizliği elde edilir.

Önermeyi doğru yapan

x

değerlerinin aralığını belirlemek için.

2

Belirtilen sayı kümesindeki en küçük elemanı bulmak.

x \in \mathbb{N}

ve

x > 4

koşulunu sağlayan en küçük doğal sayı 5'tir.

Doğal sayılar kümesinde 4'ten büyük en küçük tam sayıyı belirlemek için.

Key Concept

Açık önermenin doğruluk kümesini bulma ve niceleyici özellikleri.

Question 19Question →

$A = \{1, \{2\}, \{1, 2\}, 3\}$ kümesi veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

\{2\} \subset A

\{1, 2\} \subset A

\{1\} \in A

\{1, 3\} \subset A

\{3\} \in A

Show answer & explanation

Answer: $\{1, 3\} \subset A$

Answer

\{1, 3\} \subset A

ifadesi doğrudur.

\{1, 3\} \subset A

ifadesi doğrudur. Çünkü kümenin elemanları incelendiğinde

1

ve

3

sayılarının her ikisinin de

A

kümesine ait olduğu görülür (

1 \in A

ve

3 \in A

). Bu elemanların oluşturduğu küme,

A

'nın alt kümesidir.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını tek tek listeleyin.

A = \{1, \{2\}, \{1, 2\}, 3\}

kümesinin elemanları

1

,

\{2\}

,

\{1, 2\}

ve

3

olmak üzere

4

tanedir.

Alt küme ve eleman ilişkilerini doğru inceleyebilmek için kümedeki her bir elemanı parantez yapılarıyla beraber ayırt etmek gerekir.

2

Doğru olan seçeneğin doğruluğunu alt küme tanımıyla kontrol edin.

1 \in A

ve

3 \in A

olduğu görülür. Bir kümenin elemanları kullanılarak yazılan küme o kümenin alt kümesidir. Dolayısıyla

\{1, 3\} \subset A

ifadesi doğrudur.

Alt küme sembolünün (

\{x, y\} \subset A \iff x \in A \text{ ve } y \in A

) tanımını uygulamak için.

Key Concept

Bir nesnenin kümenin elemanı olması (

\in

) ile elemanlardan oluşan bir kümenin alt küme olması (

\subset

) durumunun ayırt edilmesi.

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

p: "\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 \geq 0"

önermesi veriliyor.

Buna göre, $p$ önermesinin değili ( $p'$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0

\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 \leq 0

\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0

\exists x \in \mathbb{Z}, \ x^2 - 3 < 0

\forall x \in \mathbb{Z}, \ x^2 - 3 \leq 0

Show answer & explanation

Answer: $\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0$

Answer

Niceleyicinin ve açık önermenin değilleri alınarak elde edilen

\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0

ifadesidir.

Niceleyiciler içeren bir önermenin değili alınırken, her (

\forall

) niceleyicisi bazı (

\exists

) niceleyicisine dönüştürülür ve açık önermedeki

\geq

eşitsizliği de yön değiştirerek eşitliksiz

<

sembolü haline gelir. Bu nedenle doğru cevap

\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0

ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1

Niceleyicinin değili bulunur.

Her (

\forall

) niceleyicisinin değili, bazı (

\exists

) niceleyicisidir. Bu durumda

\forall x \in \mathbb{R}

ifadesinin değili

\exists x \in \mathbb{R}

olur.

Mantıktaki niceleyiciler değilleme kuralları gereği

\forall

sembolü

\exists

sembolü ile yer değiştirir.

2

Açık önermedeki eşitsizliğin değili alınır.

\geq

(büyük veya eşit) ifadesinin değili

<

(küçük) ifadesidir. Dolayısıyla

x^2 - 3 \geq 0

açık önermesinin değili

x^2 - 3 < 0

olur.

Eşitsizliklerin değili alınırken yön değiştirilir ve sınır değerinin dahil olma durumu (eşitlik) tersine çevrilir.

3

Niceleyici ve eşitsizlik değilleri birleştirilir.

p': "\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0"

elde edilir.

Önermenin değili, tüm bileşenlerinin değillerinin bir araya getirilmesiyle oluşur.

Key Concept

Açık önermelerin ve niceleyicilerin değili

Kümeler ve Mantık

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer