Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Problemleri

Ayhan'ın cüzdanında 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknotlardan oluşan toplam 35 adet kâğıt para vardır. Bu paralarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 10 TL'lik banknotların toplam değeri, 20 TL'lik banknotların toplam değerine eşittir.
* Cüzdandaki paraların toplam değeri en az 650 TL'dir.

Buna göre, Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az kaçtır?

  1. A
    2
  2. 5Answer
  3. C
    8
  4. D
    11
  5. E
    14

Answer

Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az 5'tir.
Cüzdandaki 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknot sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olarak tanımlanırsa; toplam banknot sayısı x+y+z=35x + y + z = 35 olur. 10 TL'liklerin toplam değeri 20 TL'liklerin toplam değerine eşit olduğundan 10x=20y10x = 20y yani x=2yx = 2y elde edilir. Bu durumda toplam banknot sayısı 2y+y+z=35  ⟹  3y+z=352y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35 olur. Buradan y=35−z3y = \frac{35 - z}{3} yazılabilir. Toplam para miktarı en az 650 TL olduğundan 10x+20y+50z≥65010x + 20y + 50z \geq 650 eşitsizliği yazılır. x=2yx = 2y ifadesi yerine yazılırsa 40y+50z≥650  ⟹  4y+5z≥6540y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65 elde edilir. Burada yy yerine 35−z3\frac{35 - z}{3} yazılırsa 4(35−z3)+5z≥65  ⟹  140−4z+15z≥195  ⟹  11z≥55  ⟹  z≥54\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5 bulunur. Dolayısıyla 50 TL'lik banknot sayısı en az 5 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Banknot sayıları için değişkenleri tanımlama ve toplam banknot sayısı denklemini yazma.
xx: 10 TL'lik, yy: 20 TL'lik, zz: 50 TL'lik banknot sayısı olmak üzere; x+y+z=35x + y + z = 35.
Problemi matematiksel olarak ifade edebilmek için değişkenleri belirlememiz gerekir.
2
10 TL ve 20 TL'lik banknotların değer eşitliğinden yararlanarak değişkenleri birbiri cinsinden ifade etme.
10x=20y  ⟹  x=2y10x = 20y \implies x = 2y. Bu ifadeyi toplam banknot sayısında yerine yazarsak: 2y+y+z=35  ⟹  3y+z=352y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35 elde edilir. Buradan y=35−z3y = \frac{35 - z}{3} olur.
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve eşitsizlikte tek bir değişken bırakmak için.
3
Toplam para miktarı için en az 650 TL koşulunu kullanarak eşitsizlik kurma ve çözme.
10x+20y+50z≥650  ⟹  10(2y)+20y+50z≥650  ⟹  40y+50z≥650  ⟹  4y+5z≥6510x + 20y + 50z \geq 650 \implies 10(2y) + 20y + 50z \geq 650 \implies 40y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65. Bu eşitsizlikte yy yerine 35−z3\frac{35 - z}{3} yazarsak: 4(35−z3)+5z≥65  ⟹  140−4z+15z≥195  ⟹  11z≥55  ⟹  z≥54\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5 bulunur.
50 TL'lik banknot sayısının alabileceği en küçük değeri bulmak için.

Key Concept

Değişkenler arasında ilişki kurma ve birinci dereceden eşitsizlik modellemesi.

Alternative Method

Değer vererek ve seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. En az değeri aradığımız için en küçük seçenekten başlanarak deneme yapılabilir. Örneğin, 50 TL'lik banknot sayısı 5 olarak seçilirse geriye kalan 30 banknot 10 TL ve 20 TL'liklerden oluşur. x+y=30x+y=30 ve x=2yx=2y eşitliklerinden y=10y=10 ve x=20x=20 bulunur. Bu durumda toplam para 20×10+10×20+5×50=200+200+250=65020 \times 10 + 10 \times 20 + 5 \times 50 = 200 + 200 + 250 = 650 TL olur ve en az 650 TL şartını tam olarak sağlar.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic