Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Problemleri

Bir okul kütüphanesindeki kitaplar, her birinde eşit sayıda kitap olacak şekilde 12 koliye yerleştirilmek isteniyor. Ancak kolilerin bir kısmı taşıma sırasında hasar gördüğü i��in kullanılamıyor.

Kalan kolilerin her birine, başlangıçta planlanandan 5 kitap daha fazla konulduğunda kütüphanedeki tüm kitaplar yerleştirilebiliyor.

Eğer hasar görmeyen bu kolilerin her birine, başlangıçta planlanandan 10 kitap daha fazla konsaydı, kitapların tamamı yerleştirildikten sonra bu kolilerden 2 tanesi tamamen boş kalacaktı.

Hasar gören koli sayısı, hasar görmeyen koli sayısından az olduğuna göre, kütüphanedeki toplam kitap sayısı kaçtır?

  1. A
    60
  2. B
    80
  3. C
    90
  4. 120Answer
  5. E
    150

Answer

Kütüphanedeki toplam kitap sayısı 120'dir.
Toplam kitap sayısı 120'dir. Başlangıçta koli başına 10 kitap planlanmıştır ve hasar görmeyen koli sayısı 8'dir. Bu durumda hasar gören koli sayısı 4 olup hasar görmeyen koli sayısından (8) daha azdır. Eşitlikler kurulduğunda 8×15=1208 \times 15 = 120 ve 6×20=1206 \times 20 = 120 değerleri elde edilir ve tüm koşullar sağlanmış olur.

Step-by-Step Solution

1
Bilinmeyenlerin tanımlanması ve ilk denklemin kurulması
Toplam kitap sayısı BB, başlangıçta planlanan koli başına kitap sayısı xx ve hasar görmeyen koli sayısı NN olsun. Bu durumda toplam kitap sayısı B=12xB = 12x şeklinde ifade edilir.
Kütüphanedeki tüm kitapların başlangıçta 12 koliye eşit şekilde paylaştırılabildiği belirtildiği için.
2
Kalan koliler üzerinden durumların denklemleştirilmesi
Birinci duruma göre B=N(x+5)B = N(x+5) olur. İkinci duruma göre 2 koli boş kaldığı için B=(N−2)(x+10)B = (N-2)(x+10) olur.
Soruda verilen iki farklı yerleşim durumunu matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.
3
Denklem sisteminin çözülmesi
N(x+5)=(N−2)(x+10)  ⟹  Nx+5N=Nx+10N−2x−20  ⟹  5N−2x=20N(x+5) = (N-2)(x+10) \implies Nx + 5N = Nx + 10N - 2x - 20 \implies 5N - 2x = 20 elde edilir. 12x=N(x+5)12x = N(x+5) eşitliğinden N=12xx+5N = \frac{12x}{x+5} ifadesini bu denklemde yerine yazarsak: 5⋅12xx+5−2x=20  ⟹  60xx+5=2x+20  ⟹  60x=(2x+20)(x+5)  ⟹  60x=2x2+30x+100  ⟹  2x2−30x+100=0  ⟹  x2−15x+50=05 \cdot \frac{12x}{x+5} - 2x = 20 \implies \frac{60x}{x+5} = 2x + 20 \implies 60x = (2x+20)(x+5) \implies 60x = 2x^2 + 30x + 100 \implies 2x^2 - 30x + 100 = 0 \implies x^2 - 15x + 50 = 0 bulunur. Bu denklem (x−10)(x−5)=0(x-10)(x-5) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan x=10x = 10 veya x=5x = 5 değerleri elde edilir.
Ortak bilinmeyenleri bulmak amacıyla cebirsel sadeleştirme yapmak için.
4
Kısıtlayıcı koşulun kontrolü ve sonucun belirlenmesi
Eğer x=5x = 5 ise N=6N = 6 olur. Bu durumda hasar gören koli sayısı 12−6=612 - 6 = 6 olur. Hasar gören koli sayısı (6), hasar görmeyen koli sayısından (6) az olmadığı için bu durum elenir. Eğer x=10x = 10 ise N=8N = 8 olur. Hasar gören koli sayısı 12−8=412 - 8 = 4 olup hasar görmeyen koli sayısından (8) azdır ve koşul sağlanır. Toplam kitap sayısı B=12×10=120B = 12 \times 10 = 120 olarak bulunur.
Soruda verilen 'hasar gören koli sayısının hasar görmeyenden az olması' şartına uygun olan doğru kökü seçmek için.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve sınır şartlarının analizi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic