Examkin

Question

Difficulty: HardPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bir postacının çantasında; A caddesine ait 3 adet, B caddesine ait 2 adet ve C caddesine ait 2 adet olmak üzere toplam 7 adet teslimat zarfı bulunmaktadır. A caddesindeki evler A1,A2,A3A_1, A_2, A_3; B caddesindeki evler B1,B2B_1, B_2 ve C caddesindeki evler C1,C2C_1, C_2 şeklinde numaralandırılmıştır.

Postacı, teslimatları yaparken şu kurallara uymaktadır:
* Her bir caddenin kendi içindeki teslimat sırasını, ev numarası küçük olandan büyük olana doğru (örneğin A1A_1 evine teslimat yapmadan A2A_2 evine teslimat yapmayacak şekilde) gerçekleştirmektedir.
* C caddesine ait teslimatları art arda (peş peşe) yapmamaktadır.

Buna göre, postacı bu 7 teslimatı kaç farklı sıralama ile gerçekle��tirebilir?

  1. A
    90
  2. B
    120
  3. 150Answer
  4. D
    180
  5. E
    210

Answer

150
Soruda belirtilen sıralama kısıtına göre, her caddenin teslimatları kendi içinde belirli bir sıra takip etmelidir. Bu durum, elemanları özdeş kabul ederek tekrarlı permütasyon yapmamızı sağlar. Tüm olası teslimat sıralamaları 210'dur. C caddesi teslimatlarının peş peşe yapıldığı durumlar tek bir blok olarak alındığında 60 farklı sıralama elde edilir. İstenen koşulda C caddesi teslimatları art arda yapılmayacağı için, tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarılarak 150 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Teslimatların kendi içlerindeki sıralama kısıtını analiz etme.
Her caddenin kendi içindeki teslimat sırası (A1→A2→A3A_1 \to A_2 \to A_3, B1→B2B_1 \to B_2, C1→C2C_1 \to C_2) sabit olduğundan, bu durum tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür. A caddesi için 3, B caddesi için 2 ve C caddesi için 2 özdeş nesne varmış gibi düşünülür.
Belirli nesnelerin kendi aralarındaki sırası sabitlendiğinde, bu nesneler tekrarlı permütasyon nesneleri gibi işlem görür.
2
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın tüm olası teslimat sıralamalarını bulma.
Toplam durum sayısı: 7!3!×2!×2!=50406×2×2=210\frac{7!}{3! \times 2! \times 2!} = \frac{5040}{6 \times 2 \times 2} = 210 olur.
3 adet A, 2 adet B ve 2 adet C harfinin toplam sıralama sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
3
C caddesi teslimatlarının art arda (peş peşe) yapıldığı durumları hesaplama.
C1C_1 ve C2C_2 teslimatları peş peşe olacağı için bu iki teslimat tek bir blok [CC][CC] olarak kabul edilir. Bu durumda sıralanacak elemanlar: 3 adet A, 2 adet B ve 1 adet [CC][CC] bloğudur. Toplam 6 elemanın sıralama sayısı: 6!3!×2!×1!=7206×2=60\frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60 olur.
Art arda gelmesi istenen nesneler tek bir grup olarak birleştirilerek tekrarlı permütasyon hesabı yapılır.
4
İstenen koşula uygun durum sayısını bulma.
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 210−60=150210 - 60 = 150 olarak bulunur.
Tüm olası durumlardan, C caddesi teslimatlarının yan yana geldiği durumlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Koşullu Sıralama

Alternative Method

A ve B caddelerine ait 5 teslimat kendi içinde 5!3!×2!=10\frac{5!}{3! \times 2!} = 10 farklı şekilde sıralanır. Bu sıralamada nesnelerin başları, araları ve sonlarında olmak üzere toplam 6 adet boşluk oluşur. C caddesi teslimatlarının art arda gelmemesi için bu 6 boşluktan 2 tanesi seçilerek C teslimatları yerleştirilir. Seçim sayısı (62)=15\binom{6}{2} = 15 olup, teslimat sırası kendi içinde sabit olduğu için yerleştirme 1 türlüdür. Sonuç 10×15=15010 \times 15 = 150 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic