A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgi… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$A$ ve $B$ kümeleri, $E$ evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* $s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)$
* $s(A' \cap B') = s(A \cap B) + 2$
* $s(A') = 9$
* $s(E) = 19$

Buna göre, $s(A' \setminus B')$ değeri kaçtır?

İstenen

A' \setminus B'

kümesi, küme işlemlerinin özelliklerine göre

A' \cap (B')' = A' \cap B = B \setminus A

kümesine eşittir. Denklem sistemi çözüldüğünde

s(B \setminus A) = 3

olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 3'tür.

Kümelerdeki ayrık bölgeleri harflendirerek veya değişkenler atayarak ifade edelim.

s(A \setminus B) = a

s(B \setminus A) = b

s(A \cap B) = c

s((A \cup B)') = d

olsun.

Verilen eleman sayıları arasındaki ilişkileri denkleme dönüştürmek için.

Verilen bilgileri bu değişkenler cinsinden yazalım.

a = 2b

d = c + 2

b + d = 9

(çünkü

A' = (B \setminus A) \cup (A \cup B)'

) ve

a + b + c + d = 19

(çünkü

s(E) = 19

Elde edilen denklemleri ortak çözerek bilinmeyenleri bulmak için.

Denklem sistemini çözelim.

b + d = 9 \implies d = 9 - b

. Buradan

c = d - 2 = 7 - b

elde edilir. Tüm değişkenleri

a + b + c + d = 19

denkleminde yerine yazarsak:

2b + b + (7 - b) + (9 - b) = 19 \implies b + 16 = 19 \implies b = 3

bulunur.

b

değişkeninin değerine ulaşmak için.

s(A' \setminus B')

ifadesini sadeleştirelim.

A' \setminus B' = A' \cap (B')' = A' \cap B = B \setminus A

olduğundan

s(A' \setminus B') = s(B \setminus A) = b = 3

olur.

İstenen kümenin eleman sayısını bulmak için.

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin özellikleri ve eleman sayısı bağıntıları

Question