Bir x gerçel sayısı için, x^2 - 5x + 2 = 0 olduğuna göre, \frac{x^4 + 4}{x^2} ifadesinin d… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir

x

gerçel sayısı için,

x^2 - 5x + 2 = 0

olduğuna göre,

\frac{x^4 + 4}{x^2}

ifadesinin değeri kaçtır?

İstenen ifade rasyonel biçimde ayrıştırıldığında

x^2 + \frac{4}{x^2}

ifadesine eşit olur. Verilen

x^2 - 5x + 2 = 0

denklemi

x

'e bölünüp düzenlendiğinde

x + \frac{2}{x} = 5

elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında

x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 25

bulunur ve buradan aranan değer 21 olarak elde edilir.

Verilen rasyonel ifadeyi terimlerine ayırarak sadeleştirmek.

\frac{x^4 + 4}{x^2} = x^2 + \frac{4}{x^2}

elde edilir.

İfadeyi, verilen denklemden elde edebileceğimiz daha basit bir forma dönüştürmek amacıyla bu sadeleştirme yapılır.

Verilen

x^2 - 5x + 2 = 0

denkleminin her iki tarafını

x

'e bölerek

x + \frac{2}{x}

ifadesini oluşturmak.

x - 5 + \frac{2}{x} = 0 \implies x + \frac{2}{x} = 5

eşitliği bulunur.

x^2 + \frac{4}{x^2}

ifadesine ulaşmak için kullanabileceğimiz temel doğrusal bileşeni elde etmek.

Elde edilen

x + \frac{2}{x} = 5

eşitliğinin her iki tarafının karesini almak.

\left(x + \frac{2}{x}\right)^2 = 5^2 \implies x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 25 \implies x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 25

bulunur.

Tam kare açılımı yardımıyla aradığımız

x^2 + \frac{4}{x^2}

terimini ortaya çıkarmak.

Denklemdeki sabit terimi karşı tarafa atarak hedef ifadeyi yalnız bırakmak.

x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 - 4 = 21

olarak hesaplanır.

Aranan ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Tam Kare Özdeşliği ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

Question