Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a⋅b>0 a \cdot b > 0
b⋅c<0 b \cdot c < 0
∣a∣<∣b∣<∣c∣ |a| < |b| < |c|
olduğuna göre,
∣a−c∣−∣b−c∣∣a−b∣ \frac{|a - c| - |b - c|}{|a - b|}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    11
  2. −1-1Answer
  3. C
    00
  4. D
    a+b−2ca−b\frac{a + b - 2c}{a - b}
  5. E
    a+ba−b\frac{a + b}{a - b}

Answer

−1-1
Verilen işaret koşulları altında aa ve bb aynı işaretli, cc ise bunlara zıt işaretlidir. Ayrıca ∣a∣<∣b∣|a| < |b| koşulu, sayılar pozitif olduğunda a<ba < b, negatif olduğunda ise b<ab < a olmasını gerektirir. Her iki olası durum incelendiğinde de pay kısmındaki ∣a−c∣−∣b−c∣|a - c| - |b - c| ifadesinin açılımı, paydadaki ∣a−b∣|a - b| ifadesinin açılımının her zaman toplama işlemine göre tersine (yani zıt işaretlisine) eşit çıkmaktadır. Bu zıt işaretli iki aynı ifadenin birbirine oranı ise her koşulda −1-1 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen çarpım eşitsizliklerinden aa, bb ve cc sayılarının işaret ilişkilerini belirlemek.
a⋅b>0a \cdot b > 0 olduğundan aa ve bb aynı işaretlidir. b⋅c<0b \cdot c < 0 olduğundan bb ile cc zıt işaretlidir. Dolayısıyla cc sayısı, aa ve bb ile zıt işaretli olmak zorundadır. Bu durum iki olasılık doğurur: ya (a>0,b>0,c<0a > 0, b > 0, c < 0) ya da (a<0,b<0,c>0a < 0, b < 0, c > 0).
Mutlak değerlerin içerisindeki ifadelerin işaretlerini tespit edebilmek için öncelikle değişkenlerin işaret gruplarını belirlememiz gerekir.
2
∣a∣<∣b∣<∣c∣|a| < |b| < |c| sıralamasını kullanarak her iki olası durum için de mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretlerini ayrı ayrı incelemek.
1. Durum (a>0,b>0,c<0a > 0, b > 0, c < 0 ise): ∣a∣<∣b∣  ⟹  0<a<b|a| < |b| \implies 0 < a < b olur. Bu durumda, a−c>0a - c > 0 (pozitiften negatif çıkarsa pozitif olur), b−c>0b - c > 0 (pozitiften negatif çıkarsa pozitif olur) ve a−b<0a - b < 0 (küçük sayıdan büyük sayı çıkarsa negatif olur).
2. Durum (a<0,b<0,c>0a < 0, b < 0, c > 0 ise): ∣a∣<∣b∣  ⟹  b<a<0|a| < |b| \implies b < a < 0 olur. Bu durumda, a−c<0a - c < 0 (negatiften pozitif çıkarsa negatif olur), b−c<0b - c < 0 (negatiften pozitif çıkarsa negatif olur) ve a−b>0a - b > 0 (büyük sayıdan küçük sayı çıkarsa pozitif olur).
Mutlak değerlerin içerisindeki ifadelerin pozitif veya negatif olduğunu netleştirmek, onların dışarıya nasıl çıkacağını belirler.
3
Elde edilen işaretlere göre mutlak değerleri açarak ifadeyi sadeleştirmek.
1. Durum için:
∣a−c∣=a−c|a - c| = a - c
∣b−c∣=b−c|b - c| = b - c
∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a - b| = -(a - b) = b - a
İfade: (a−c)−(b−c)b−a=a−c−b+cb−a=a−bb−a=−1\frac{(a - c) - (b - c)}{b - a} = \frac{a - c - b + c}{b - a} = \frac{a - b}{b - a} = -1 elde edilir.

2. Durum için:
∣a−c∣=−(a−c)=c−a|a - c| = -(a - c) = c - a
∣b−c∣=−(b−c)=c−b|b - c| = -(b - c) = c - b
∣a−b∣=a−b|a - b| = a - b
İfade: (c−a)−(c−b)a−b=c−a−c+ba−b=b−aa−b=−1\frac{(c - a) - (c - b)}{a - b} = \frac{c - a - c + b}{a - b} = \frac{b - a}{a - b} = -1 elde edilir.
Her iki durumda da cebirsel sadeleştirme sonucunda ifadenin sabit bir −1-1 değerine eşit olduğu doğrulanmış olur.

Key Concept

Mutlak değer tanımı gereği, içerideki ifade negatif ise dışarıya önüne eksi alarak çıkar; pozitif ise aynen çıkar.

Alternative Method

Değişkenlere verilen koşulları sağlayan basit değerler seçilerek de sonuca gidilebilir. Örneğin; a=1a = 1, b=2b = 2, c=−3c = -3 değerleri seçilirse (koşullar: 1⋅2>01 \cdot 2 > 0, 2⋅(−3)<02 \cdot (-3) < 0 ve ∣1∣<∣2∣<∣−3∣|1| < |2| < |-3| sağlanır):
∣1−(−3)∣−∣2−(−3)∣∣1−2∣=∣4∣−∣5∣∣−1∣=4−51=−1 \frac{|1 - (-3)| - |2 - (-3)|}{|1 - 2|} = \frac{|4| - |5|}{|-1|} = \frac{4 - 5}{1} = -1 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

More questions from this topic