Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

I. ∣x⋅y∣=∣−x∣⋅∣y∣|x \cdot y| = |-x| \cdot |y|

II. ∣x−y∣≤∣x∣−∣y∣|x - y| \leq |x| - |y|

III. ∣x∣x⋅y∣y∣=−1\frac{|x|}{x} \cdot \frac{y}{|y|} = -1 ise xx ve yy zıt işaretlidir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve III ifadelerinin yer aldığı seçenektir.
Birinci öncül, ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| ve mutlak değerin çarpım özelliği (∣x∣⋅∣y∣=∣x⋅y∣|x| \cdot |y| = |x \cdot y|) gereği her zaman doğrudur. Üçüncü öncülde, oranların çarpımının −1-1 olması için çarpanlardan birinin 11, diğerinin −1-1 olması gerekir. Bu durum değişkenlerin zıt işaretli olmasını gerektirdiğinden her zaman doğrudur. Dolayısıyla I ve III ifadeleri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncülü mutlak değerin çarpım özelliği ve ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| eşitliğini kullanarak analiz edin.
∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| olduğu için ∣−x∣⋅∣y∣=∣x∣⋅∣y∣=∣x⋅y∣|-x| \cdot |y| = |x| \cdot |y| = |x \cdot y| elde edilir. Dolayısıyla birinci öncül her zaman doğrudur.
Mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretinin negatif ile çarpılması mutlak değerin değerini değiştirmez.
2
İkinci öncülün doğruluğunu kontrol etmek için bir karşıt örnek verin.
x=1x = 1 ve y=2y = 2 için ∣1−2∣=1|1 - 2| = 1 olurken, ∣1∣−∣2∣=1−2=−1|1| - |2| = 1 - 2 = -1 olur. 1≤−11 \leq -1 eşitsizliği yanlış olduğundan ikinci öncül her zaman doğru değildir.
Farkın mutlak değeri, mutlak değerlerin farkından küçük olamaz; aksine üçgen eşitsizliğine göre her zaman büyük veya eşittir (∣x−y∣≥∣x∣−∣y∣|x - y| \geq |x| - |y|).
3
Üçüncü öncüldeki oranı inceleyerek xx ve yy sayılarının işaretlerini belirleyin.
∣x∣x\frac{|x|}{x} oranı x>0x > 0 için 11, x<0x < 0 için −1-1 değerini alır. Benzer şekilde y∣y∣\frac{y}{|y|} oranı y>0y > 0 için 11, y<0y < 0 için −1-1 değerini alır. Çarpımlarının −1-1 olması için bu oranlardan birinin 11, diğerinin −1-1 olması gerekir. Bu da xx ve yy sayılarından birinin pozitif, diğerinin negatif yani zıt işaretli olmasını zorunlu kılar. Dolayısıyla üçüncü öncül her zaman doğrudur.
Bölüm durumundaki ifadelerin mutlak değer dışına çıkarken aldıkları değerler sayıların işaretlerine bağlıdır.

Key Concept

Mutlak değerin temel özellikleri, çarpım özelliği, üçgen eşitsizliği ve işaret durumuna göre mutlak değer dışına çıkarma.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

More questions from this topic