Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Eşitsizlikler
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−4)2−3∣x−4∣−4>0(x - 4)^2 - 3|x - 4| - 4 > 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlamayan xx tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: 36

Answer

Eşitsizliği sağlamayan x tam sayılarının toplamı 36'dır.
Verilen eşitsizlikte (x−4)2=∣x−4∣2(x - 4)^2 = |x - 4|^2 dönüşümü yapıldıktan sonra ∣x−4∣=t|x - 4| = t denilerek ikinci dereceden (t−4)(t+1)>0(t - 4)(t + 1) > 0 eşitsizliği çözülür. Mutlak değer negatif olamayacağından t<−1t < -1 elenir ve sadece ∣x−4∣>4|x - 4| > 4 kalır. Bu eşitsizliği sağlamayan değerler ise tümleyeni olan ∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Buradan 0≤x≤80 \le x \le 8 aralığı elde edilir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 36'dır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliği mutlak değerli tek bir değişken cinsinden ifade etme.
∣x−4∣2−3∣x−4∣−4>0|x - 4|^2 - 3|x - 4| - 4 > 0
(x−4)2=∣x−4∣2(x - 4)^2 = |x - 4|^2 özdeşliği kullanılarak tüm terimler ∣x−4∣|x - 4| cinsinden yazılır.
2
Değişken değiştirme yöntemiyle eşitsizliği ikinci dereceden forma getirme.
t2−3t−4>0t^2 - 3t - 4 > 0 (burada t=∣x−4∣t = |x - 4| ve t≥0t \ge 0)
∣x−4∣|x - 4| yerine tt yazılarak ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edilir. Mutlak değer negatif olamayacağı için tt sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
3
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulma.
t>4t > 4
(t−4)(t+1)>0(t - 4)(t + 1) > 0 eşitsizliğinin kökleri 44 ve −1-1'dir. Çözüm aralığı t>4t > 4 veya t<−1t < -1 olur. Ancak t≥0t \ge 0 koşulu nedeniyle t<−1t < -1 aralığında çözüm yoktur.
4
Orijinal eşitsizliği sağlamayan durumları belirleme.
∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4
Eşitsizliği sağlamayan değerler, çözüm kümesinin tümleyenidir. Bu yüzden ∣x−4∣>4|x - 4| > 4 eşitsizliğinin değili (sağlamayan durumu) olan ∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4 eşitsizliği çözülmelidir.
5
Elde edilen mutlak değerli eşitsizliği çözerek x aralığın�� bulma.
0≤x≤80 \le x \le 8
∣x−4∣≤4  ⟹  −4≤x−4≤4|x - 4| \le 4 \implies -4 \le x - 4 \le 4 eşitsizliğinde her tarafa 4 eklenerek 0≤x≤80 \le x \le 8 aralığı bulunur.
6
Aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplama.
36
0≤x≤80 \le x \le 8 aralığındaki tam sayılar 0,1,2,3,4,5,6,7,80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8'dir. Bu sayıların toplamı 0+1+2+3+4+5+6+7+8=360 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 olarak hesaplanır.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Alternative Method

Eşitsizliği sağlamayan aralık belirlendikten sonra (0≤x≤80 \le x \le 8), ardışık tam sayıların toplam formülü olan [n * (n + 1)] / 2 kullanılarak [8 * 9] / 2 = 36 hesabı daha hızlı yapılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic