Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir fabrikada bulunan otomatik paketleme makinesi, A ve B türündeki ürünlerin kutularını şeritler kullanarak ambalajlamaktadır. Bu makineyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Makine, her bir A türü kutuyu ambalajlamak için 44 metre şerit kullanmaktadır.
* Makine, her bir B türü kutuyu ambalajlamak için 77 metre şerit kullanmaktadır.
* Makineye takılan her bir rulo şeridin uzunluğu 120120 metredir ve rulo tamamen bitmeden yeni rulo takılmamaktadır.

Bu makinede, toplam 33 rulo şeridin tamamı hiçbir şerit artmayacak şekilde kullanılarak belirli sayılarda A ve B türü kutu ambalajlanmıştır.

Ambalajlanan B türü kutuların sayısı, A türü kutuların sayısının 22 katından fazla olduğuna göre, ambalajlanan toplam kutu sayısı en fazla kaçtır?

  1. A
    54
  2. 57Answer
  3. C
    60
  4. D
    75
  5. E
    87

Answer

Maksimum toplam kutu sayısı 57'dir.
Toplam şerit miktarı olan 360 metre kullanılarak 4x + 7y = 360 denklemi oluşturulur. y = 4k yazıldığında x = 90 - 7k elde edilir. Pozitif tam sayı koşulu gereği k en fazla 12 olabilir. y > 2x koşulu ise k > 10 sonucunu doğurur. Buradan k değeri 11 veya 12 olabilir. Toplam kutu sayısı olan 90 - 3k ifadesini en büyük yapmak için k = 11 seçildiğinde toplam kutu sayısı 57 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kullanılan toplam şerit miktarını hesaplama ve temel denklemi kurma
Toplam şerit miktarı 3×120=3603 \times 120 = 360 metredir. A türü kutu sayısı xx, B türü kutu sayısı yy olmak üzere denklem: 4x+7y=3604x + 7y = 360 olarak bulunur.
Her bir A kutusu için 4 metre, her bir B kutusu için 7 metre şerit harcandığı bilgisi verilmiştir.
2
Değişkenleri parametreye bağlı olarak ifade etme ve sınır şartlarını belirleme
x=90−74yx = 90 - \frac{7}{4}y elde edilir. xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan yy değeri 44'ün katı olmalıdır. y=4ky = 4k (k∈Z+k \in \mathbb{Z}^+) için x=90−7kx = 90 - 7k olur. x>0x > 0 koşulundan 90−7k>0  ⟹  k≤1290 - 7k > 0 \implies k \leq 12 bulunur.
Kutu adetlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğinden parametrik çözüm uygulanır.
3
Eşitsizlik kısıtını parametreye uygulama
y>2x  ⟹  4k>2(90−7k)  ⟹  4k>180−14k  ⟹  18k>180  ⟹  k>10y > 2x \implies 4k > 2(90 - 7k) \implies 4k > 180 - 14k \implies 18k > 180 \implies k > 10 elde edilir.
B türü kutuların sayısının, A türü kutuların sayısının 2 katından fazla olduğu koşulunu değerlendirmek için.
4
Toplam kutu sayısını veren ifadeyi bulma ve maksimize etme
10<k≤1210 < k \leq 12 aralığında kk tam sayısı 1111 veya 1212 olabilir. Toplam kutu sayısı S=x+y=(90−7k)+4k=90−3kS = x + y = (90 - 7k) + 4k = 90 - 3k ifadesidir. SS değerini en büyük yapmak için en küçük kk değeri olan 1111 seçilir. Bu durumda toplam kutu sayısı 90−3(11)=5790 - 3(11) = 57 olur.
90−3k90 - 3k ifadesinde kk küçüldükçe toplam değer büyüyeceğinden, tanımlı aralıktaki en küçük kk tam sayısı seçilmiştir.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Diophantus Denklemleri
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic