Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Dik koordinat düzleminde verilen
(a−1)x+5y=2 (a - 1)x + 5y = 2
x+(a+3)y=b+1 x + (a + 3)y = b + 1
denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

a+2b=4a + 2b = 4 olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    2
  2. -16Answer
  3. C
    -8
  4. D
    -6
  5. E
    0

Answer

-16 (doğru olan çarpım değeri)
Denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için katsayılar oranı eşit olmalı ancak sabitlerin oranı bu eşitliğe dahil olmamalıdır. a−11=5a+3\frac{a-1}{1} = \frac{5}{a+3} eşitliğinden a=−4a = -4 veya a=2a = 2 bulunur. a=2a = 2 için b=1b = 1 olur ve tüm oranlar eşitlendiği için çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur, bu yüzden elenir. a=−4a = -4 için ise b=4b = 4 bulunur ve sabitlerin oranı eşitliği bozduğu için çözüm kümesi boş küme olur. Bu değerlerin çarpımı (−4)⋅4=−16(-4) \cdot 4 = -16 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için değişkenlerin katsayıları arasındaki oranı yazın.
a−11=5a+3≠2b+1\frac{a - 1}{1} = \frac{5}{a + 3} \neq \frac{2}{b + 1} bağıntısı elde edilir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için katsayılar oranının eşit, ancak sabit terimlerin oranının bu değerden farklı olması gerekir.
2
Katsayılar oranının eşitliğinden faydalanarak a parametresinin alabileceği değerleri bulun.
(a−1)(a+3)=5  ⟹  a2+2a−3=5  ⟹  a2+2a−8=0(a - 1)(a + 3) = 5 \implies a^2 + 2a - 3 = 5 \implies a^2 + 2a - 8 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılırsa (a+4)(a−2)=0(a + 4)(a - 2) = 0 olur. Buradan a=−4a = -4 veya a=2a = 2 bulunur.
Değişken katsayılarını birbirine oranlayarak sistemi paralel doğrular haline getirecek a adaylarını belirlemek gerekir.
3
Her bir a değeri için a+2b=4a + 2b = 4 eşitliğini kullanarak b değerlerini bulun ve boş küme şartını kontrol edin.
Eğer a=2a = 2 ise, 2+2b=4  ⟹  b=12 + 2b = 4 \implies b = 1 olur. Bu durumda sabit terimlerin oran�� 2b+1=21+1=1\frac{2}{b + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1 olur. Katsayılar oranı da 2−1=12 - 1 = 1 olduğundan tüm oranlar eşitlenir ve çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur (boş küme olmaz). Dolayısıyla a=2a = 2 alınamaz. Eğer a=−4a = -4 ise, −4+2b=4  ⟹  b=4-4 + 2b = 4 \implies b = 4 olur. Bu durumda sabit terimlerin oranı 2b+1=25\frac{2}{b+1} = \frac{2}{5} olur. Katsayılar oranı −4−1=−5-4 - 1 = -5 olduğundan −5≠25-5 \neq \frac{2}{5} şartı sağlanır ve sistemin çözüm kümesi boş küme olur.
Bulunan parametrelerin sistemi çakışık (sonsuz çözüm) yapıp yapmadığını test etmek için üçüncü oran kontrol edilmelidir.
4
Doğru a ve b değerlerinin çarpımını hesaplayın.
a⋅b=(−4)⋅4=−16a \cdot b = (-4) \cdot 4 = -16 bulunur.
Soruda istenen a⋅ba \cdot b çarpım değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çözüm kümesinin boş küme olma şartı
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

More questions from this topic