Examkin

Question

Difficulty: HardBileşke Fonksiyon
f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2
g(x)=x2−3x+1g(x) = x^2 - 3x + 1

biçiminde tanımlanan ff ve gg fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, (g∘f)(x)=5(g \circ f)(x) = 5 eşitliğini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    53\frac{5}{3}
  3. C
    33
  4. 73\frac{7}{3}Answer
  5. E
    13\frac{1}{3}

Answer

Eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı 73\frac{7}{3}'tür.
Eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamının 73\frac{7}{3} olduğunu gösteren seçenek doğrudur. Bileşke fonksiyon kuralı doğru uygulanıp g(f(x))=5g(f(x)) = 5 denklemi (f(x)−4)(f(x)+1)=0(f(x) - 4)(f(x) + 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında f(x)=4f(x) = 4 veya f(x)=−1f(x) = -1 değerlerine ulaşılır. Bu değerler sırasıyla 3x−2=43x - 2 = 4 ve 3x−2=−13x - 2 = -1 denklemlerine eşitlendiğinde xx değerleri 22 ve 13\frac{1}{3} olarak bulunur. Toplamları ise 73\frac{7}{3} eder.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulayarak (g∘f)(x)=5(g \circ f)(x) = 5 ifadesini açık biçimde yazmak.
g(f(x))=5  ⟹  (f(x))2−3f(x)+1=5g(f(x)) = 5 \implies (f(x))^2 - 3f(x) + 1 = 5 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyon işleminde içteki fonksiyon, dıştaki fonksiyonda değişken yerine yazılır.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenlemek ve çarpanlarına ayırmak.
(f(x))2−3f(x)−4=0  ⟹  (f(x)−4)(f(x)+1)=0(f(x))^2 - 3f(x) - 4 = 0 \implies (f(x) - 4)(f(x) + 1) = 0 elde edilir. Buradan f(x)=4f(x) = 4 veya f(x)=−1f(x) = -1 bulunur.
Denklemi sıfıra eşitleyerek çarpanlarına ayırmak, f(x)f(x) fonksiyonunun alabileceği değerleri belirlememizi sağlar.
3
Bulunan f(x)f(x) değerlerini f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 kuralına eşitleyerek xx değerlerini çözmek.
3x−2=4  ⟹  3x=6  ⟹  x=23x - 2 = 4 \implies 3x = 6 \implies x = 2 ve 3x−2=−1  ⟹  3x=1  ⟹  x=133x - 2 = -1 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} bulunur.
f(x)f(x)'in alabileceği her bir değere karşılık gelen gerçel xx sayılarını bulmak gerekir.
4
Elde edilen farklı xx gerçel sayılarının toplamını hesaplamak.
2+13=732 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} olarak bulunur.
Soruda eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı istendiği için bulunan kökler toplanır.

Key Concept

Bileşke fonksiyon tanımı ve bileşke içeren denklemlerin çözümü.
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyon

More questions from this topic