Examkin

Question

Difficulty: Very hardBileşke Fonksiyon

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonları

f(x)={x+3,x<1x2−4x+7,x≥1f(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 1 \\ x^2 - 4x + 7, & x \ge 1 \end{cases}
g(x)=x2−ax+2g(x) = x^2 - ax + 2

biçiminde tanımlanıyor. Burada aa bir gerçel sayıdır.

(f∘g)(x)=3(f \circ g)(x) = 3 denklemini sağlayan birbirinden farklı gerçel köklerin sayısı 33 olduğuna göre, bu köklerin toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    222\sqrt{2}
  2. 323\sqrt{2}Answer
  3. C
    424\sqrt{2}
  4. D
    626\sqrt{2}
  5. E
    828\sqrt{2}

Answer

Birbirinden farklı gerçel köklerin toplamı 323\sqrt{2} olabilir.
Denklemin 3 farklı gerçel kökü olması için g(x)=0g(x) = 0 denkleminin iki farklı kökü varken, g(x)=2g(x) = 2 denkleminin diskriminantının sıfır olması ve çakışık tek kök vermesi gerekir. Buradan a=22a = 2\sqrt{2} veya a=−22a = -2\sqrt{2} elde edilir. Farklı köklerin toplamı 3a2\frac{3a}{2} formülünden 323\sqrt{2} veya −32-3\sqrt{2} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon tanımı uygulanarak dıştaki fonksiyon eşitlenir.
(f∘g)(x)=3  ⟹  f(g(x))=3(f \circ g)(x) = 3 \implies f(g(x)) = 3 elde edilir. Burada g(x)=ug(x) = u dönüşümü yapılırsa f(u)=3f(u) = 3 denklemine ulaşılır.
Bileşke fonksiyon sorularında içten dışa veya dönüşüm yöntemiyle işlem sırasını belirlemek en güvenli yoldur.
2
Parçalı tanımlı olan f(u)=3f(u) = 3 denkleminin kökleri bulunur.
İki durum incelenir:
1. Durum: u<1u < 1 ise u+3=3  ⟹  u=0u + 3 = 3 \implies u = 0 olur. 0<10 < 1 şartını sağladığı için u=0u = 0 geçerli bir çözümdür.
2. Durum: u≥1u \ge 1 ise u2−4u+7=3  ⟹  u2−4u+4=0  ⟹  (u−2)2=0  ⟹  u=2u^2 - 4u + 7 = 3 \implies u^2 - 4u + 4 = 0 \implies (u - 2)^2 = 0 \implies u = 2 olur. 2≥12 \ge 1 şartını sağladığı için u=2u = 2 de geçerli bir çözümdür.
Parçalı fonksiyonlarda bulunan köklerin, tanımlı oldukları aralıklara uygun olup olmadığı kontrol edilmelidir.
3
Dönüşüm geri alınarak g(x)g(x) fonksiyonunun eşitlikleri yazılır.
g(x)=0g(x) = 0 veya g(x)=2g(x) = 2 olmalıdır. g(x)=x2−ax+2g(x) = x^2 - ax + 2 ifadesi yerine yazıldı��ında:
1. Denklem: x2−ax+2=0x^2 - ax + 2 = 0
2. Denklem: x2−ax+2=2  ⟹  x2−ax=0  ⟹  x(x−a)=0x^2 - ax + 2 = 2 \implies x^2 - ax = 0 \implies x(x - a) = 0
elde edilir.
Bileşke fonksiyonun iç kısmındaki fonksiyonun alabileceği değerler üzerinden değişkenin alacağı değerlere geçilir.
4
Elde edilen iki denklemin kök sayısı analizi yapılır.
2. denklemin kökleri x=0x = 0 ve x=ax = a olmak üzere her zaman iki tanedir (a≠0a \ne 0 için). Toplam kök sayısının 3 olması için 1. denklemin diskriminantı sıfır olmalı, yani tek (çakışık) bir kökü bulunmalıdır.
Δ=a2−4(1)(2)=0  ⟹  a2=8  ⟹  a=22\Delta = a^2 - 4(1)(2) = 0 \implies a^2 = 8 \implies a = 2\sqrt{2} veya a=−22a = -2\sqrt{2} bulunur.
1. denklemin kökü bu durumda x=a2x = \frac{a}{2} olur. a≠0a \ne 0 olduğundan bu kök 2. denklemin kökleri olan 00 ve aa ile çakışmaz. Dolayısıyla toplamda tam olarak 3 farklı gerçel kök elde edilir.
İkinci dereceden denklemlerin kök sayıları diskriminant değerlerine bağlıdır. Toplam farklı kök sayısı iki denklemin ortak kökü olmaması ve birinin çakışık köke sahip olmasıyla 3'e eşitlenir.
5
Köklerin toplamı hesaplanır.
Kökler 00, aa ve a2\frac{a}{2} şeklindedir. Farklı köklerin toplamı 0+a+a2=3a20 + a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2} olur.
- a=22a = 2\sqrt{2} için kökler toplamı: 3(22)2=32\frac{3(2\sqrt{2})}{2} = 3\sqrt{2} bulunur.
- a=−22a = -2\sqrt{2} için kökler toplamı: 3(−22)2=−32\frac{3(-2\sqrt{2})}{2} = -3\sqrt{2} bulunur.
Seçeneklerde 323\sqrt{2} değeri yer almaktadır.
Bulunan parametre değerlerine karşılık gelen tüm kökler toplanarak olası sonuçlar belirlenir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda iç içe işlem yapma, parçalı fonksiyonlarda tanım aralığı kontrolü ve ikinci dereceden denklemlerde diskriminant ile kök sayısı ilişkisi.
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyon

More questions from this topic