a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a + b ve a \cdot b değerlerinin her ikisi de rasyone… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$a$ ve $b$ birer gerçel sayı olmak üzere, $a + b$ ve $a \cdot b$ değerlerinin her ikisi de rasyonel sayı olduğu halde $a$ ve $b$ sayılarından en az birinin irrasyonel sayı olduğu $(a, b)$ sayı çiftlerine "özel çift" denir.

Melis,

k

bir tam sayı olmak üzere,

a = 3 - \sqrt{k}

b = 3 + \sqrt{k}

sayılarını belirlemiştir.

Melis'in belirlediği $a$ ve $b$ sayılarının her ikisinin de $[-2, 8]$ kapalı aralığında yer aldığı ve $(a, b)$ çiftinin bir özel çift olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $k$ tam sayısı vardır?

Answer: 20

Answer

Bu koşulları sağlayan 20 farklı k tam sayısı vardır.

Verilen aralık ve karekök tanımları incelendiğinde

k

sayısının

0

ile

25

arasındaki (sınırlar dahil) tam kare olmayan tam sayılar olması gerektiği görülür. Bu da

20

farklı değer demektir.

Step-by-Step Solution

a

b

sayılarının gerçel sayı olabilmesi için karekökün tanım kümesi incelenir.

k \geq 0

Negatif sayıların karekökü gerçel sayı belirtmez.

a

b

sayılarının

[-2, 8]

kapalı aralığında olma koşulları çözülür.

k \leq 25

3 + \sqrt{k} \leq 8 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25

3 - \sqrt{k} \geq -2 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25

eşitsizliklerinin her ikisi de bu sonucu verir.

(a, b)

çiftinin "özel çift" olma tanımına göre sayı kümeleri analizi yapılır.

k

bir tam kare sayı olmamalıdır.

a + b = 6 \in \mathbb{Q}

a \cdot b = 9 - k \in \mathbb{Q}

olduğu için rasyonellik şartları sağlanır. Sayıların irrasyonel olması için

\sqrt{k}

ifadesinin irrasyonel olması gerekir. Bu da

k

tam sayısının bir tam kare olmaması anlamına gelir.

[0, 25]

kapalı aralığındaki uygun

k

tam sayılarının sayısı hesaplanır.

26 - 6 = 20

0 \leq k \leq 25

aralığında toplam

26

tam sayı vardır. Bu sayılardan tam kare olanlar

\{0, 1, 4, 9, 16, 25\}

olmak üzere

6

tanedir. Bunlar çıkarıldığında

20

sayı kalır.

Key Concept

Gerçel sayıların alt kümeleri olan rasyonel ve irrasyonel sayıların özellikleri ile kareköklü ifadelerin tanım kümesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic