Sayılar Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Question 1Question →

Bir laboratuvarda yapılan hassas ölçümlerde beş farklı maddenin sıcaklık deği��imleri santigrat derece ( $^\circ\text{C}$ ) cinsinden sırasıyla $-3{}5$ , $0$ , $4$ , $-\sqrt{3}$ ve $\frac{12}{5}$ olarak kaydedilmiştir.

Buna göre, kaydedilen bu sıcaklık değişim değerlerinden kaç tanesi bir tam sayı belirtir?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Kaydedilen sıcaklık değişim değerlerinden tam sayı belirtenler 2 tanedir.

Verilen sayılar incelendiğinde,

0

ve

4

sayılarının tam sayılar kümesine ait olduğu görülür.

-3{}5

ve

\frac{12}{5}

sayıları tam sayı olmayan rasyonel sayılardır.

-\sqrt{3}

sayısı ise rasyonel olmadığından irrasyonel bir sayıdır. Bu nedenle tam sayı belirten değerlerin sayısı 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sayıların sayı kümelerindeki yerlerini sınıflandırmak

-3{}5 \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

,

0 \in \mathbb{Z}

,

4 \in \mathbb{Z}

,

-\sqrt{3} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

,

\frac{12}{5} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

Sayıların tam sayı sınıfına girip girmediğini anlamak için en dar sayı kümesi üyeliklerini tespit etmeliyiz.

2

Tam sayı olan elemanları seçip sayısını bulmak

Tam sayı olanlar

0

ve

4

'tür. Toplamda 2 tane tam sayı vardır.

Soru kökünde bizden tam sayı olan değerlerin adedi istenmiştir.

Key Concept

Sayı Kümeleri

Question 2Question →

Bir alışveriş merkezinde zemin katın $2$ kat altında otopark, $4$ kat üstünde ise sinema salonu bulunmaktadır.

Bu katları temsil eden $-2$ ve $4$ sayıları ile ilgili;

I. Her ikisi de birer doğal sayıdır.
II. Her ikisi de birer tam sayıdır.
III. Her ikisi de birer rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

II ve III

I ve II

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

İkinci ve üçüncü önermelerin yer aldığı seçenek doğrudur.

İkinci ve üçüncü önermeler doğrudur. Hem

-2

hem de

4

sayıları tam sayılar kümesinin (

\mathbb{Z}

) elemanıdır. Ayrıca her tam sayı, paydası

1

olan bir rasyonel sayı (

\mathbb{Q}

) şeklinde ifade edilebildiği için bu iki sayı rasyonel sayılar kümesinin de elemanıdır. Birinci önerme ise yanlıştır çünkü

-2

sayısı negatif bir tam sayı olup doğal sayılar kümesine (

\mathbb{N}

) ait değildir.

Step-by-Step Solution

1

Sayıları ve ait oldukları temel sayı kümelerini belirleyelim.

-2

negatif bir tam sayıdır,

4

ise pozitif bir tam sayıdır.

Önermelerin doğruluğunu test etmek için her bir sayının sayı kümelerindeki yerini analiz etmeliyiz.

2

Birinci önermenin doğruluğunu kontrol edelim.

Doğal sayılar kümesi (

\mathbb{N}

) sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur:

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}

.

-2

negatif bir sayı olduğu için bir doğal sayı değildir. Dolayısıyla birinci önerme yanlıştır.

Doğal sayılar kümesinin negatif eleman barındırmadığını doğrulamak için.

3

İkinci ve üçüncü önermelerin doğruluğunu kontrol edelim.

Hem

-2

hem de

4

birer tam sayıdır (

\mathbb{Z}

), dolayısıyla ikinci önerme doğrudur. Ayrıca her tam sayı, paydası

1

olan bir rasyonel sayı (

\mathbb{Q}

) olarak yazılabileceğinden (örneğin

\frac{-2}{1}

ve

\frac{4}{1}

) her ikisi de rasyonel sayıdır. Bu nedenle üçüncü önerme de doğrudur.

Tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin özelliklerini ve aralarındaki kapsama ilişkisini doğrulamak için.

Key Concept

Sayı kümeleri ve elemanların bu kümelere aidiyeti

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı, iki basamaklı $BC$ doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, $A$ rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

A rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.

Çözümleme yapıldığında elde edilen

25A = 3 \cdot BC + 5

denkleminde,

BC

iki basamaklı doğal sayısının alabileceği değerler

10

ile

99

arasındadır. Bu koşul altında

3 \cdot BC + 5

ifadesinin

25

'in katı olması için

A

rakamı yalnızca

2

,

5

ve

8

değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı

15

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sayının basamak çözümlemesini yapmak.

ABC = 100A + BC

ABC

üç basamaklı sayısının son iki basamağını ayırarak çözümleme yapmak,

BC

iki basamaklı terimi ile sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

2

Soruda verilen sözel ifadeyi denklem olarak yazmak.

100A + BC = 13 \cdot BC + 20 \implies 100A = 12 \cdot BC + 20

Matematiksel modeli kurarak değişkenleri düzenlemek.

3

Denklemin katsayılarını en büyük ortak bölen ile sadeleştirmek.

25A = 3 \cdot BC + 5

Daha küçük katsayılarla çalışmak ve değer verme aşamasında işlem kolaylığı sağlamak.

4

BC

ifadesinin iki basamaklı bir doğal sayı olma şartını uygulayarak

A

değerlerini aramak.

A \in \{2, 5, 8\}

ve buna karşılık gelen

BC \in \{15, 40, 65\}

10 \leq BC \leq 99

sınırları dahilinde

3 \cdot BC + 5

ifadesinin 25'in katı olmasını sağlayan rakamlar belirlenir.

5

Bulunan rakamları toplamak.

2 + 5 + 8 = 15

A

rakamının alabileceği tüm farklı değerlerin toplamını elde etmek.

Key Concept

Çözümleme yaparken tüm basamakları tek tek açmak yerine (

100A + 10B + C

), ortak blokları (

100A + BC

) birlikte gruplandırmak işlem kolaylığı sağlar.

Alternative Method

25A = 3 \cdot BC + 5

denkleminde eşitliğin sağ tarafı

5

'in katıdır. Dolayısıyla sol taraftaki

25A

da

5

'in katı olmalıdır. Buradan

3 \cdot BC

ifadesinin

5

'in katı olması gerektiği, yani

BC

sayısının birler basamağının (

C

)

0

veya

5

olması gerektiği görülür.

C = 0

veya

C = 5

değerleri üzerinden deneme yapılarak

BC \in \{15, 40, 65\}

değerlerine daha hızlı ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

a

bir tam sayı olmak üzere,

7a + 4

ifadesi bir tek sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a + 4

a^2 + 2a

a^2 + 3

2^a

a^a + 1

Show answer & explanation

Answer: $a^2 + 3$

Answer

a^2 + 3 ifadesi her zaman bir çift sayıdır.

Tek bir tam sayının karesi tek bir sayıya eşittir. Tek bir sayı ile başka bir tek sayı olan

3

toplandığında sonuç her zaman çift bir sayı olur. Dolayısıyla

a^2 + 3

ifadesi daima çifttir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

7a + 4

ifadesinin tekliğini analiz etmek.

7a

ifadesi tek bir sayıya eşit olmalıdır.

Tek bir sonuç elde etmek için çift sayı olan

4

ile tek bir sayının toplanması gerekir.

2

7a

ifadesinin tek olmasından yola çıkarak

a

değişkeninin paritesini belirlemek.

a

tek bir tam sayıdır.

İki tam sayının çarpımı tek ise bu sayıların her ikisi de tek olmak zorundadır.

7

sayısı tek olduğundan

a

da tek olmalıdır.

3

a

tek sayısı için seçeneklerdeki ifadelerin değerlerini incelemek.

a^2 + 3

ifadesinin çift olduğu belirlenir.

a

tek sayı ise karesi olan

a^2

de tek sayıdır. Tek bir sayı ile tek bir sayı olan

3

toplandığında sonuç daima çift sayı olur.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ile işlemler

Question 5Question →

$a$ , $b$ ve $c$ birer gerçel sayı olmak üzere,

a^3 \cdot b^2 < 0

a \cdot b \cdot c = 0

b + c > 0

eşitsizlik ve eşitliği veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

-, \ +, \ \text{işaretsiz}

-, \ +, \ -

-, \ +, \ +

+, \ -, \ \text{işaretsiz}

-, \ -, \ \text{işaretsiz}

Show answer & explanation

Answer: $-, \ +, \ \text{işaretsiz}$

Answer

Sırasıyla negatif, pozitif ve işaretsiz (nötr)

Verilen

a^3 \cdot b^2 < 0

eşitsizliğinde, bir gerçel sayının çift kuvveti olan

b^2

ifadesi daima pozitif veya sıfırdır. Çarpımın sonucu sıfırdan küçük olduğu için

b

sıfır olamaz, dolayısıyla

b^2 > 0

olur. Bu durumda çarpımın negatif olabilmesi için

a^3 < 0

olmalıdır, buradan da

a

sayısının işareti negatif (

-

) bulunur.

a \cdot b \cdot c = 0

eşitliğinde

a

ve

b

sıfırdan farklı olduğu için

c = 0

olmalıdır. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Son olarak

b + c > 0

eşitsizliğinde

c = 0

yazıldığında

b > 0

elde edilir, yani

b

sayısının işareti pozitif (

+

) olur. Dolayısıyla sırasıyla işaretler

-, \ +, \ \text{işaretsiz}

şeklinde belirlenir.

Step-by-Step Solution

1

a

sayısının işaretini belirleme

a < 0

(negatif)

b^2

ifadesi her zaman pozitif olduğundan (

b \neq 0

),

a^3 \cdot b^2 < 0

eşitsizliğinin sağlanması için

a^3 < 0

yani

a < 0

olmalıdır.

2

c

sayısının değerini ve işaretini belirleme

c = 0

(işaretsiz / nötr)

a \cdot b \cdot c = 0

eşitliğinde

a \neq 0

ve

b \neq 0

olduğundan

c = 0

olmalıdır. Sıfır sayısı işaretsizdir.

3

b

sayısının işaretini belirleme

b > 0

(pozitif)

b + c > 0

eşitsizliğinde

c = 0

yerine yazıldığında

b > 0

elde edilir.

Key Concept

Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır ve çift kuvvetler gerçel sayılarda daima pozitif veya sıfırdır.

Question 6Question →

$a$ , $b$ ve $c$ tam sayılar olmak üzere,

a \cdot (b + c)

ifadesinin bir tek sayı,

b \cdot (a + c)

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a \cdot c + b

a + b + c

a^b + c

a \cdot b + c

b^a + c

Show answer & explanation

Answer: $a + b + c$

Answer

Tam sayıların toplamı olan

a + b + c

ifadesi daima bir çift sayıdır.

Bulunan

a

(tek),

b

(çift) ve

c

(tek) tam sayıları için

a + b + c

toplamı, iki tek sayının toplamından çift sayı ve bu çift sayı ile

b

çift sayısının toplamından yine çift sayı elde edileceği için daima çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

a \cdot (b + c)

ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak çarpanların durumunu analiz etmek.

a

tek sayı ve

b + c

tek sayı olmalıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

b + c

ifadesinin tek sayı olmasından yararlanarak

b

ve

c

tam sayılarının teklik-çiftlik ilişkisini kurmak.

b

ve

c

tam sayılarından biri tek, diğeri çifttir.

İki tam sayının toplamının tek sayı olması ancak bu sayıların farklı teklik-çiftlik karakterine sahip olmasıyla mümkündür.

3

b \cdot (a + c)

ifadesinin çift sayı olduğu bilgisini kullanarak

b

ve

c

'nin değerlerini kesinleştirmek.

b

çift sayı,

c

ise tek sayı olmalıdır.

Eğer

b

tek sayı olsaydı

c

çift sayı olurdu. Bu durumda

a + c

ifadesi (tek + çift) tek sayı olurdu ve

b \cdot (a + c)

çarpımı tek sayı çıkardı. Çarpımın çift sayı olduğu verildiğinden

b

kesinlikle çift sayı,

c

ise tek sayı olmalıdır. Bu durumda

a + c

(tek + tek) çift sayı olur ve çarpım çift sayı şartını sağlar.

4

Elde edilen

a

(tek),

b

(çift) ve

c

(tek) karakterlerini seçeneklerde yerine yazarak her zaman çift sayı olan seçeneği tespit etmek.

a + b + c

toplamı tek + çift + tek = çift sayı sonucunu verir.

Tam sayıların toplamı daima bir tam sayı olduğundan ve teklik-çiftlik özellikleri toplama işleminde korunduğundan bu ifade daima çift sayıdır.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılar

Question 7Question →

$x$ ve $y$ iki basamaklı birbirinden farklı en küçük iki tam sayıdır.

Buna göre, $x + y$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -197

Answer

İki basamaklı birbirinden farklı en küçük iki tam sayının toplamı -197'dir.

İki basamaklı en küçük iki farklı tam sayı

-99

ve

-98

'dir. Bu sayıların toplamı

-197

yapar.

Step-by-Step Solution

1

İki basamaklı en küçük tam sayıyı belirleme

-99

Tam sayılar kümesi negatif sayıları da kapsadığından, iki basamaklı en küçük tam sayı sıfırdan en uzak olan

-99

sayısıdır.

2

Birbirinden farklı ikinci en küçük tam sayıyı belirleme

-98

Sayıların farklı olması koşulundan dolayı,

-99

dışındaki en k��çük iki basamaklı tam sayı

-98

'dir.

3

Sayıların toplamını hesaplama

-197

Soruda istenen toplam için belirlenen iki sayı toplanır:

-99 + (-98) = -197

elde edilir.

Key Concept

Tam sayılar kümesinin negatif elemanları barındırması ve negatif tam sayılarda sıralama kuralları.

Estimated Time:45s

Question 8Question →

a

,

b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

3a - b = 2c + 1

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a + b

a^b

a \cdot b

a + c

b \cdot c

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot b$

Answer

İki sayının çarpımı olan ifade her zaman bir çift sayıdır.

Verilen denklemde eşitliğin sağ tarafı tek sayı olduğundan sol tarafı da tek sayı olmak zorundadır. Bu durum

a

ve

b

tam sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğunu gösterir. Çarpanlarından en az biri çift olan çarpım işlemi her zaman çift sayı üreteceğinden, bu iki sayının çarpımı her zaman bir çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin sağ tarafının teklik-çiftlik durumunu belirleme

2c + 1

ifadesinin sonucu,

c

bir tam sayı olduğu için her zaman tektir.

Herhangi bir tam sayının

2

katı çift olup, bir fazlası her zaman tek sayı sonucunu verir.

2

Eşitliğin sol tarafındaki terimlerin teklik-çiftlik ilişkisini bulma

3a - b

ifadesi de tek sayı olmalıdır. Bu durumda

3a

ile

b

sayılarının teklik-çiftlik durumları farklıdır.

3a

ifadesinin paritesi

a

ile aynı olduğundan,

a

ve

b

sayılarından biri tek iken diğeri çift olmalıdır.

Farkları tek olan iki tam sayıdan biri çift, diğeri tek olmak zorundadır.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift olup olmadığını test etme

a

ve

b

sayılarından en az biri çift olduğu için, bu iki sayının çarpımı olan

a \cdot b

ifadesi her zaman bir çift sayıdır.

Çarpma işleminde çarpanlardan en az birinin çift olması, çarpım sonucunu çift sayı yapar.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ile temel aritmetik işlemler.

Estimated Time:1m 30s

Question 9Question →

a

,

b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

a + 3b

ifadesinin bir çift sayı,

b \cdot c

ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

a + b + c

a \cdot b \cdot c

a^b + c

a - c

b^a + c

Show answer & explanation

Answer: a - c

Answer

İki tek sayının farkın�� temsil eden ifade her zaman çift sayıdır.

Verilen ilişkilerden a, b ve c tam sayılarının her birinin tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır. İki tek sayının farkı her zaman çift sayı olacağından, iki değişkenin farkını belirten ifade her zaman çift bir sayıya eşittir.

Step-by-Step Solution

1

b ve c tam sayılarının çarpımının tek sayı olma durumu incelenir.

b ve c sayılarının her ikisi de tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için bu sayıların her birinin tek sayı olması gerekir.

2

a + 3b ifadesinin çift sayı olma durumu, b sayısının tek sayı olduğu bilgisi kullanılarak incelenir.

a sayısı tek sayıdır.

b tek sayı olduğundan 3b de tek sayıdır. Tek bir sayı ile başka bir sayının toplamının çift sayı olabilmesi için o sayının da tek sayı olması gerekir (tek + tek = çift).

3

a, b ve c değişkenlerinin hepsinin tek sayı olduğu belirlendikten sonra seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumları analiz edilir.

İki tek sayının farkı her zaman çift sayı olduğundan, aranan ifadenin bu farkı gösteren ifade olduğu bulunur.

a ve c tek sayılar olduğundan, aralarındaki fark her zaman çift bir tam sayı verir. Diğer seçenekler ise ya her zaman tek sayıdır ya da üssün negatif olma ihtimali nedeniyle tam sayı belirtmeyebilir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılar

Estimated Time:1m 0s

Question 10Question →

İki basamaklı $AB$ doğal sayısı, rakamları toplamının 4 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük $AB$ sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır?

2

3

4

6

8

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

En büyük sayının onlar basamağındaki rakam olan 4

Verilen koşulu sağlayan iki basamaklı en büyük sayı

48

'dir ve bu sayının onlar basamağındaki rakam

4

'tür.

Step-by-Step Solution

1

AB

iki basamaklı sayısını basamak değerlerine göre çözümleyelim.

AB = 10A + B

olur.

Onlar basamağındaki rakam 10, birler basamağındaki rakam 1 ile ��arpılarak çözümlenir.

2

Verilen eşitliği kullanarak

A

ve

B

rakamları arasındaki ilişkiyi bulalım.

10A + B = 4(A + B) \implies 10A + B = 4A + 4B \implies 6A = 3B \implies 2A = B

elde edilir.

Sayının, rakamları toplamının 4 katına eşit olduğu bilgisi denklem olarak yazılıp sadeleştirilmiştir.

3

2A = B

eşitliğini sağlayan

A

ve

B

rakamlarını belirleyelim ve en büyük

AB

sayısını bulalım.

A

ve

B

birer rakam ve

AB

iki basamaklı sayı olduğundan

A \neq 0

olmalıdır. Bu durumda olası

(A, B)

ikilileri:

(1, 2)

,

(2, 4)

,

(3, 6)

ve

(4, 8)

'dir. En büyük sayı

48

olarak bulunur.

En büyük iki basamaklı sayıyı elde etmek için onlar basamağındaki

A

rakamını en büyük seçmemiz gerekir.

B = 2A

bir rakam olduğundan

B \leq 9

olmalıdır, bu yüzden

A

en fazla

4

olabilir.

Key Concept

İki Basamaklı Sayıların Çözümlenmesi ve Basamak Değeri İlişkisi

Question 11Question →

Sıfırdan farklı $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $a < 0 < b$ iken, $-a^2 \cdot b$ ifadesinin değeri daima negatif, $(-a)^2 \cdot (-b)^3$ ifadesinin değeri ise daima pozitiftir.

True

False

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

İfade yanlıştır.

Önerme yanlıştır. Çünkü

a < 0 < b

koşulunda

b > 0

olduğundan

-b < 0

(negatif) olur. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif olduğundan

(-b)^3 < 0

olur.

-a > 0

olduğundan çift kuvveti

(-a)^2 > 0

(pozitif) olur. Bu iki ifadenin çarpımı olan

(-a)^2 \cdot (-b)^3

ifadesi negatif bir değer almalıdır, ancak önermede pozitif olduğu iddia edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin ve karşıt işaretli terimlerin işaretlerini belirleme.

a < 0

olduğundan

-a > 0

olur.

b > 0

olduğundan

-b < 0

olur.

Pozitif ve negatif sayıların toplama işlemine göre terslerinin işaretlerini doğru tespit etmek için.

2

-a^2 \cdot b

ifadesinin işaretini inceleme.

a \neq 0

olduğundan

a^2 > 0

olur. Önündeki eksi işaretinden dolayı

-a^2 < 0

(negatif) elde edilir.

b > 0

(pozitif) olduğundan,

-a^2 \cdot b = (\text{negatif}) \cdot (\text{pozitif}) = \text{negatif}

olur. Bu kısım önermeyle uyumludur.

Parantezsiz üslü ifadelerde eksi işaretinin tabana dahil olmadığını ve çarpma kuralını uygulamak için.

3

(-a)^2 \cdot (-b)^3

ifadesinin işaretini inceleme.

-a > 0

olduğundan

(-a)^2 > 0

(pozitif) olur.

-b < 0

(negatif) olduğundan, negatif bir sayının tek kuvveti olan

(-b)^3 < 0

(negatif) elde edilir. Buradan

(-a)^2 \cdot (-b)^3 = (\text{pozitif}) \cdot (\text{negatif}) = \text{negatif}

olur. Bu kısım önermedeki 'pozitiftir' iddiasıyla çelişir.

Negatif sayıların tek kuvvetlerinin negatif, çift kuvvetlerinin ise pozitif olduğunu parantez özelliklerine dikkat ederek belirlemek için.

4

Elde edilen sonuçları değerlendirerek önermenin doğruluk değerini belirleme.

İkinci ifade pozitif değil negatif değer aldığı için önerme yanlıştır.

Önermenin genel doğruluk değerine ulaşmak için.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayıların Kuvvetleri ve İşaret Kuralları

Estimated Time:1m 30s

Question 12Question →

x

bir tam sayı olmak üzere,

x^2 \cdot (x - 1) < 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük

x

tam sayısı ka��tır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Eşitsizliği sağlayan en büyük x tam sayısı -1'dir.

Verilen eşitsizlikte

x^2

çarpanı

x = 0

dışında daima pozitiftir.

x = 0

için çarpım sıfır olup eşitsizliği sağlamaz. Dolayısıyla

x \neq 0

olmalıdır. Çarpımın negatif olabilmesi için diğer çarpan olan

x - 1

ifadesinin negatif olması, yani

x < 1

olması gerekir. 1'den küçük olan ve 0'a eşit olmayan en büyük tam sayı -1'dir.

Step-by-Step Solution

1

x^2

ifadesinin alabileceği değerlerin işaretlerini analiz edin.

x = 0

için

x^2 = 0

olur.

x \neq 0

olan tüm durumlar için

x^2 > 0

olur.

Herhangi bir gerçel sayının karesi negatif olamaz, ya sıfırdır ya da pozitiftir.

2

x = 0

değerinin eşitsizliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

x = 0

için

0^2 \cdot (0 - 1) = 0

olur.

0 < 0

ifadesi yanlış olduğundan

x = 0

çözüme dahil edilemez.

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpımı sıfır yaparak eşitsizliği geçersiz kılar.

3

x \neq 0

kabulü altında çarpımın negatif olma şartını inceleyin.

x^2 > 0

olduğundan, çarpımın negatif olması için

x - 1 < 0 \implies x < 1

olmalıdır.

Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı daima negatiftir.

4

x < 1

ve

x \neq 0

koşullarına uyan en büyük tam sayıyı belirleyin.

Koşulları sağlayan tam sayılar

\{-1, -2, -3, \dots\}

olup en büyük eleman

-1

'dir.

1'den küçük olan en büyük tam sayı normalde 0'dır, ancak 0 değeri eşitsizliği sağlamadığı için bir sonraki en büyük tam sayı olan -1 seçilir.

Key Concept

Sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve çift dereceli terimlerin işareti

Estimated Time:1m 0s

Question 13Question →

\frac{8! - 7!}{6!}

işleminin sonucu kaçtır?

7

42

49

55

56

Show answer & explanation

Answer: 49

Answer

İşlemin sonucu 49 olarak bulunur.

İşlemin payı ortak paranteze alınarak

7!(8-1) = 7 \cdot 7!

olarak yazılır. Paydadaki

6!

ile sadeleştirme yapıldığında

\frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 49

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak paranteze alabilmek için büyük olan terimi küçük olana göre açalım.

8! = 8 \cdot 7!

yazıldığında pay kısmı

8 \cdot 7! - 7!

olur.

Ortak terim olan

7!

çarpanını belirginleştirmek için.

2

Pay kısmını

7!

ortak parantezine alalım.

7! \cdot (8 - 1) = 7 \cdot 7!

elde edilir.

Çıkarma işlemini çarpanlara ayırarak tek bir terim haline getirmek için.

3

Elde edilen ifadeyi paydaya bölüp sadeleştirelim.

\frac{7 \cdot 7!}{6!} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 7 \cdot 7 = 49

7!

ifadesini

7 \cdot 6!

şeklinde açarak paydadaki

6!

ile sadeleştirmek için.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde büyük olan terimi küçük olan cinsinden açarak ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yapma.

Question 14Question →

a

ve

b

birer tam sayı olmak üzere,

a + 4b

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

a + 3

b + 2

a \cdot b

a^b

a + b

Show answer & explanation

Answer: $a + 3$

Answer

a + 3

ifadesi her zaman bir çift sayıya eşittir.

a

sayısının tek olduğu belirlendikten sonra, tek bir sayıya

3

(tek sayı) eklendiğinde sonuç her zaman çift sayı olur.

Step-by-Step Solution

1

a + 4b

ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.

4b

ifadesinde katsayı çift (

4

) olduğundan,

b

tam sayısı ne olursa olsun

4b

her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla

a + 4b

toplamının tek sayı olabilmesi için

a

sayısının tek sayı olması gerekir.

Tek bir sonuç elde etmek için çift sayı ile tek sayının toplanması gerekir.

2

b

tam sayısının durumunu analiz etmek.

b

hakkında herhangi bir sınırlama olmadığından

b

tek veya çift tam sayı olabilir.

4b

ifadesi

b

'nin her iki durumunda da çift sonuç verir, bu yüzden

b

değişkeninin paritesi belirlenemez.

3

Seçenekleri

a

'nın tek,

b

'nin ise belirsiz olduğu bilgisiyle incelemek.

a + 3

ifadesinde

a

tek olduğundan, tek ile tekin toplamı çifttir. Diğer seçenekler

b

'nin belirsiz paritesi veya negatif tam sayı olma ihtimali nedeniyle her zaman çift sayı belirtmez.

Soruda istenen her zaman çift olma koşulunu yalnızca tek bir değişkenin bilinen paritesiyle sağlayan seçeneği bulmak.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki özellikleri.

Estimated Time:1m 15s

Question 15Question →

\frac{8! - 2 \cdot 7!}{6! + 5!}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6

\frac{6}{7}

30

36

42

Show answer & explanation

Answer: $36$

Answer

İşlemin doğru sonucu 36'dır.

Pay ifadesi

6 \cdot 7!

ve payda ifadesi

7 \cdot 5!

olarak düzenlendikten sonra oranlandığında,

7!

terimi

7 \cdot 6 \cdot 5!

şeklinde açılır. Pay ve paydadaki

7

ve

5!

terimleri sadeleştiğinde geriye kalan

6 \cdot 6

çarpımından doğru cevap olan

36

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmında bulunan

8! - 2 \cdot 7!

ifadesini ortak olan en küçük faktöriyel terimi olan

7!

parantezine alırız.

8! - 2 \cdot 7! = 8 \cdot 7! - 2 \cdot 7! = 7! \cdot (8 - 2) = 6 \cdot 7!

Pay kısmını sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak.

2

Payda kısmında bulunan

6! + 5!

ifadesini ortak olan en küçük faktöriyel terimi olan

5!

parantezine alırız.

6! + 5! = 6 \cdot 5! + 5! = 5! \cdot (6 + 1) = 7 \cdot 5!

Payda kısmını sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak.

3

Bulunan pay ve payda ifadelerini kesirde yerine koyup,

7! = 7 \cdot 6 \cdot 5!

açılımını kullanarak sadeleştiririz.

\frac{6 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{7 \cdot 5!} = 6 \cdot 6 = 36

Ortak çarpanları sadeleştirerek nihai sayısal sonuca ulaşmak.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve sadeleştirme

Estimated Time:1m 30s

Question 16Question →

Bir

a

tam sayısı ile bir

b

tam sayısının toplamının

a

katı olan

a \cdot (a + b)

ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

b^a

a^b

a \cdot b

a + b

b - a

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot b$

Answer

a ve b tam sayılarının çarpımı olan ifade her zaman çift sayıdır

Verilen ifadenin tek sayı olması için hem a sayısının hem de a + b toplamının tek sayı olması gerekir. Buradan a tek sayı olarak bulunur. a tek sayı ise a + b toplamının tek sayı olması için b sayısının çift sayı olması gerekir. a tek, b çift tam sayı olduğuna göre, bu iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen çarpım ifadesinin çarpanlarını incelemek

a tek sayı ve a + b tek sayı olmalıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

Parantez içindeki ifadenin teklik-çiftlik durumundan diğer değişkeni belirlemek

b çift sayı olmalıdır.

a sayısı tek sayı olduğundan, a + b toplamının tek sayı çıkabilmesi için b sayısının çift sayı olması gerekir.

3

Değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu seçeneklerde denemek

a tek ve b çift tam sayılar olduğundan, a ile b'nin çarpımı olan ifade her zaman çift bir tam sayıdır.

Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı her zaman çift bir tam sayıdır. Üslü ifadelerde üslerin negatif olma durumu sonucu tam sayı yapmayabileceği için her zaman çift sayı belirtmezler.

Key Concept

Tek ve çift sayıların özellikleri ile tam sayılarda teklik-çiftlik kuralları

Question 17Question →

$a$ ve $b$ birer gerçel sayı olmak üzere, $a + b$ ve $a \cdot b$ değerlerinin her ikisi de rasyonel sayı olduğu halde $a$ ve $b$ sayılarından en az birinin irrasyonel sayı olduğu $(a, b)$ sayı çiftlerine "özel çift" denir.

Melis,

k

bir tam sayı olmak üzere,

a = 3 - \sqrt{k}

b = 3 + \sqrt{k}

sayılarını belirlemiştir.

Melis'in belirlediği $a$ ve $b$ sayılarının her ikisinin de $[-2, 8]$ kapalı aralığında yer aldığı ve $(a, b)$ çiftinin bir özel çift olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $k$ tam sayısı vardır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Bu koşulları sağlayan 20 farklı k tam sayısı vardır.

Verilen aralık ve karekök tanımları incelendiğinde

k

sayısının

0

ile

25

arasındaki (sınırlar dahil) tam kare olmayan tam sayılar olması gerektiği görülür. Bu da

20

farklı değer demektir.

Step-by-Step Solution

1

a

ve

b

sayılarının gerçel sayı olabilmesi için karekökün tanım kümesi incelenir.

k \geq 0

Negatif sayıların karekökü gerçel sayı belirtmez.

2

a

ve

b

sayılarının

[-2, 8]

kapalı aralığında olma koşulları çözülür.

k \leq 25

3 + \sqrt{k} \leq 8 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25

ve

3 - \sqrt{k} \geq -2 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25

eşitsizliklerinin her ikisi de bu sonucu verir.

3

(a, b)

çiftinin "özel çift" olma tanımına göre sayı kümeleri analizi yapılır.

k

bir tam kare sayı olmamalıdır.

a + b = 6 \in \mathbb{Q}

ve

a \cdot b = 9 - k \in \mathbb{Q}

olduğu için rasyonellik şartları sağlanır. Sayıların irrasyonel olması için

\sqrt{k}

ifadesinin irrasyonel olması gerekir. Bu da

k

tam sayısının bir tam kare olmaması anlamına gelir.

4

[0, 25]

kapalı aralığındaki uygun

k

tam sayılarının sayısı hesaplanır.

26 - 6 = 20

0 \leq k \leq 25

aralığında toplam

26

tam sayı vardır. Bu sayılardan tam kare olanlar

\{0, 1, 4, 9, 16, 25\}

olmak üzere

6

tanedir. Bunlar çıkarıldığında

20

sayı kalır.

Key Concept

Gerçel sayıların alt kümeleri olan rasyonel ve irrasyonel sayıların özellikleri ile kareköklü ifadelerin tanım kümesi.

Question 18Question →

Üzerinde $1$ , $2$ , $3$ ve $4$ rakamlarının yazılı olduğu dört kartın tamamı kullanılarak iki basamaklı iki doğal sayı elde ediliyor. Buna göre, elde edilen bu iki sayının toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

Elde edilen iki basamaklı sayıların toplamının alabileceği en küçük değer 37'dir.

Oluşturulacak iki basamaklı iki sayının onlar basamağına en küçük rakamlar olan 1 ve 2, birler basamağına ise kalan 3 ve 4 rakamları yazıldığında en küçük toplam olan 37 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sayıların çözümlenmesi

AB + CD = 10(A + C) + (B + D)

Basamak değerlerinin toplam üzerindeki etkisini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.

2

Onlar basamağındaki rakamların seçilmesi

A

ve

C

rakamları

1

ve

2

olarak belirlenir.

Onlar basamağının ağırlığı 10 olduğundan toplamın en küçük olması için buraya en küçük rakamlar yazılmalıdır.

3

Birler basamağındaki rakamların seçilmesi ve toplamın bulunması

B

ve

D

rakamları

3

ve

4

olarak belirlenir ve toplam

13 + 24 = 37

bulunur.

Kalan büyük rakamlar birler basamağına atanarak toplam minimuma indirilir.

Key Concept

Basamak çözümlemesi ve basamak değerlerine göre rakam yerleştirme

Estimated Time:1m 0s

Question 19Question →

x

bir tam sayı olmak üzere,

5x - 3

ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, a��ağıdaki ifadelerden hangisi bir tek sayıya eşittir?

x + 1

x^2 + 2

3x - 1

x^2 + x

5x + 7

Show answer & explanation

Answer: $x^2 + 2$

Answer

x^2 + 2

5x - 3

çift sayı olduğuna göre

5x

tek sayı olmalıdır. Buradan

x

sayısının tek sayı olduğu anlaşılır.

x

tek sayı ise,

x^2 + 2

ifadesi de tek sayının karesi (tek) ile çift bir sayı olan

2

'nin toplamından tek sayı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadenin tek/çift durumunu inceleyerek

x

değişkeninin karakterini belirlemek.

5x - 3

ifadesi çift sayıdır. Bir çift sayı ile tek sayının farkı tek olacağından,

5x

ifadesi tek sayı olmalıdır.

5

tek sayı olduğundan, çarpımın tek olması için

x

tam sayısı da tek sayı olmalıdır.

Seçeneklerdeki ifadelerin tekliğini/çiftliğini test edebilmek için öncelikle

x

sayısının tek mi çift mi olduğunu bulmamız gerekir.

2

Bulunan

x

karakterini seçeneklerde yerine yazarak her seçeneğin sonucunu analiz etmek.

x

tek sayı olduğundan:
- Birinci seçenekteki

x + 1

ifadesi

\text{Tek} + 1 = \text{Çift}

olur.
- İkinci seçenekteki

x^2 + 2

ifadesi

\text{Tek}^2 + 2 = \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}

olur.
- Üçüncü seçenekteki

3x - 1

ifadesi

3 \cdot \text{Tek} - 1 = \text{Tek} - \text{Tek} = \text{Çift}

olur.
- Dördüncü seçenekteki

x^2 + x

ifadesi

\text{Tek}^2 + \text{Tek} = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}

olur.
- Beşinci seçenekteki

5x + 7

ifadesi

5 \cdot \text{Tek} + 7 = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}

olur.

Her seçenekteki cebirsel ifadenin tek/çift kurallarına göre sonucunu belirlemek için.

Key Concept

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde teklik ve çiftlik durumlarının belirlenmesi.

Question 20Question →

Bir $A$ kümesinin elemanları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ kümesinin tüm elemanları $[-4, 4]$ kapalı aralığındaki birbirinden farklı gerçel sayılardan oluşmaktadır.
* $A$ kümesinin eleman sayısı 6'dır.
* $A$ kümesindeki elemanların 4 tanesi rasyonel sayıdır.
* $A$ kümesindeki elemanların 3 tanesi tam sayıdır.
* $A$ kümesindeki elemanların 2 tanesi doğal sayıdır.

Buna göre, $A$ kümesindeki tam sayıların toplamı en az kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Tam sayıların toplamının alabileceği en küçük değer -3'tür.

Doğal sayılar kümesi sıfırı içerdiği için [-4, 4] aralığındaki en küçük iki doğal sayı 0 ve 1'dir. Bu aralıktaki en küçük negatif tam sayı ise -4'tür. Bu üç tam sayının toplamı (-4) + 0 + 1 = -3 olur.

Step-by-Step Solution

1

Sayı kümeleri arasındaki alt küme ilişkisini belirleyin.

Doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin alt kümesidir (N ⊂ Z).

Kümedeki tam sayıların kaçının doğal sayı kaçının negatif tam sayı olduğunu belirlemek için.

2

Kümedeki tam sayıların dağılımını bulun.

Kümede 3 tam sayı ve 2 do��al sayı olduğundan, tam sayılardan 2'si doğal sayı (negatif olmayan tam sayı), 1'i ise negatif tam sayıdır.

Toplamı en küçük yapacak elemanları bu gruplardan seçmek için.

3

Aralıktan seçilebilecek en küçük negatif tam sayıyı bulun.

[-4, 4] aralığındaki en küç��k negatif tam sayı -4'tür.

Toplamı en az yapmak için negatif tam sayıyı olabildiğince küçük seçmeliyiz.

4

En küçük iki farklı doğal sayıyı bulun.

En küçük iki farklı doğal sayı 0 ve 1'dir.

Doğal sayılar 0'dan başlar ve toplamı en az yapmak için en küçük elemanlar seçilmelidir.

5

Seçilen tam sayıları toplayın.

(-4) + 0 + 1 = -3

İstenen en küçük toplam değerini elde etmek için.

Key Concept

Sayı kümeleri ve alt küme ilişkileri (Doğal sayılar, Tam sayılar, Rasyonel sayılar)

Sayılar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution