Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir kırtasiyeci, elindeki iki basamaklı ABAB tane kalemi paketleyerek satacaktır. Bu paketleme ve satış süreciyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kalemler, her bir pakette A+2A + 2 tane olacak şekilde paketlendiğinde BB tane paket tamamen dolmakta ve geriye hiç kalem kalmamaktadır.
* Paket sayısının 11 katından, toplam kalem sayısının 2 katı çıkarıldığında elde edilen sonuç negatif olmaktadır.
* Toplam kalem sayısının 2 katından, paket sayısının 15 katı çıkarıldığında elde edilen sonuç negatif olmaktadır.

Buna göre, kırtasiyecinin elindeki toplam kalem sayısı kaçtır?

  1. A
    21
  2. 48Answer
  3. C
    51
  4. D
    84
  5. E
    99

Answer

Kırtasiyecinin elindeki toplam kalem sayısı 48'dir.
Toplam kalem sayısı 48 olduğunda, A=4A=4 ve B=8B=8 olur. Kalemler 4+2=64+2=6'şar adet paketlendiğinde tam 8 paket elde edilir ve kalan kalmaz. Birinci eşitsizlik 9(8)<20(4)  ⟹  72<809(8) < 20(4) \implies 72 < 80 ve ikinci eşitsizlik 20(4)<13(8)  ⟹  80<10420(4) < 13(8) \implies 80 < 104 şeklinde sağlanır. Dolayısıyla bu değer tüm koşullara uyan tek çözümdür.

Step-by-Step Solution

1
Toplam kalem sayısı olan iki basamaklı ABAB sayısını basamak çözümlemesi kullanarak yazıp paketleme bağıntısını kurmak.
Toplam kalem sayısı N=10A+BN = 10A + B olur. Paketleme koşuluna göre N=B(A+2)N = B(A + 2) olduğundan, 10A+B=B(A+2)  ⟹  10A+B=AB+2B  ⟹  10A=B(A+1)10A + B = B(A + 2) \implies 10A + B = AB + 2B \implies 10A = B(A + 1) elde edilir.
Kalemlerin tamamının paketlere tam bölünmesi, toplam kalem sayısını paket sayısı ile paket kapasitesinin çarpımına eşitler.
2
Elde edilen denklemde rakam olma koşuluna göre AA ve BB için olası tam sayı değerlerini bulmak.
B=10AA+1=10−10A+1B = \frac{10A}{A + 1} = 10 - \frac{10}{A + 1} yazılır. AA ve BB birer rakam olduğu için A+1A + 1 ifadesi 10'un böleni olmalıdır. A≥1A \ge 1 için olası durumlar:
- A+1=2  ⟹  A=1A + 1 = 2 \implies A = 1 ve B=5  ⟹  N=15B = 5 \implies N = 15
- A+1=5  ⟹  A=4A + 1 = 5 \implies A = 4 ve B=8  ⟹  N=48B = 8 \implies N = 48
- A+1=10  ⟹  A=9A + 1 = 10 \implies A = 9 ve B=9  ⟹  N=99B = 9 \implies N = 99
ABAB iki basamaklı bir sayı olduğundan AA ve BB birer rakamdır ve A≠0A \neq 0 olmalıdır.
3
Birinci eşitsizlik koşulunu yazıp olası durumları bu koşula göre test etmek.
Paket sayısının 11 kat��ndan, toplam kalem sayısının 2 katı çıkarıldığında sonuç negatif olmalıdır: 11B−2N<0  ⟹  9B<20A11B - 2N < 0 \implies 9B < 20A.
- N=15N = 15 için: 9(5)<20(1)  ⟹  45<209(5) < 20(1) \implies 45 < 20 (Yanlış, bu durum elenir).
- N=48N = 48 için: 9(8)<20(4)  ⟹  72<809(8) < 20(4) \implies 72 < 80 (Doğru).
- N=99N = 99 için: 9(9)<20(9)  ⟹  81<1809(9) < 20(9) \implies 81 < 180 (Doğru).
Soruda verilen birinci eşitsizlik sınırını sağlayamayan durumları elemek gerekir.
4
İkinci eşitsizlik koşulunu yazıp kalan durumları bu koşula göre test etmek.
Toplam kalem sayısının 2 katından, paket sayısının 15 katı çıkarıldığında sonuç negatif olmalıdır: 2N−15B<0  ⟹  20A<13B2N - 15B < 0 \implies 20A < 13B.
- N=48N = 48 için: 20(4)<13(8)  ⟹  80<10420(4) < 13(8) \implies 80 < 104 (Doğru).
- N=99N = 99 için: 20(9)<13(9)  ⟹  180<11720(9) < 13(9) \implies 180 < 117 (Yanlış, bu durum elenir).
Bu durumda tüm koşulları sağlayan tek sayı N=48N = 48'dir.
İkinci eşitsizlik sınırı yardımıyla geriye kalan aday sayılar arasından tek bir doğru çözüme ulaşılır.

Key Concept

Sayı problemlerinde basamak analizi ve eşitsizlik sistemlerinin ortak çözümü
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic