x pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, x - \frac{3}{\sqrt{x}} = 10\neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, x - 3\sqrt{x} ifadesinin değeri kaçtır?

x pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, x - \frac{3}{\sqrt{x}} = 10\neşitliği sağlanmaktadı… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

x

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

x - \frac{3}{\sqrt{x}} = 10

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

x - 3\sqrt{x}

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri 1'dir.

Verilen denklem

x - 9 - 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} = 0

biçiminde düzenlendiğinde,

(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) - \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}} = 0

elde edilir. Bu ifade

\sqrt{x}+3

ortak parantezine alındığında

(\sqrt{x}+3)\left(\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 0

sonucuna ulaşılır.

x

pozitif olduğundan

\sqrt{x}+3 \neq 0

dır. Buradan

\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0

olmalıdır. Bu eşitliğin her iki tarafı

\sqrt{x}

ile çarpıldığında

x - 3\sqrt{x} - 1 = 0

elde edilir. Sabit terim karşıya atıldığında aranan değer 1 olarak bulunur.

Verilen denklemdeki terimleri bir tarafa toplamak amacıyla 10 sayısını 9 ve 1 olarak ikiye ayırıp denklemi yeniden düzenleyelim.

x - 9 - 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} = 0

İki kare farkı özdeşliği ve ortak paranteze alma yöntemini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.

İlk iki terimde iki kare farkı (

x - 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)

) uygulayıp son iki terimi ortak paydada birleştirerek ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) - \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}} = 0

Her iki grupta da

\sqrt{x}+3

teriminin ortak olduğunu görerek ortak çarpan parantezine alma adımına geçiş yapılır.

İfadeyi ortak olan

\sqrt{x}+3

çarpanı parantezine alarak düzenleyelim.

(\sqrt{x}+3)\left(\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 0

Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşitliğini incelemek için çarpanları belirlemek gerekir.

x

pozitif bir gerçel sayı olduğundan

\sqrt{x}+3

ifadesinin sıfırdan büyük (sıfırdan farklı) olduğunu belirleyip diğer çarpanı sıfıra eşitleyelim.

\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 3

Çarpımın sıfır olması için sıfırdan farklı olan çarpan dışındaki ifadenin sıfıra eşit olması şarttır.

Elde edilen denklemin her iki tarafını

\sqrt{x}

ile çarpıp istenen ifadeyi yalnız bırakalım.

x - 1 = 3\sqrt{x} \implies x - 3\sqrt{x} = 1

Bizden istenen cebirsel ifadenin sayısal değerine doğrudan ulaşmak için denklemi genişletiriz.

İki kare farkı özdeşliği, ortak çarpan parantezine alma ve cebirsel denklemlerin sadeleştirilmesi.

Estimated Time:2m 0s