A, B ve C kümeleri aynı E evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdak… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri aynı $E$ evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(E) = 45$
* $s(A' \cap B' \cap C') = 8$
* $s(A \setminus (B \cup C)) = 2 \cdot s(B \setminus (A \cup C)) = 3 \cdot s(C \setminus (A \cup B))$
* $s((A \cap B) \setminus C) = s((B \cap C) \setminus A) = s((A \cap C) \setminus B)$
* $s(A \cap B \cap C) = 3$

Buna göre, $s((A \setminus B)' \cap C)$ ifadesinin değeri kaçtır?

A
8
B
10
11Answer
D
12
E
15

Answer

İstenen kümenin eleman sayısı 11'dir.

Doğru cevap olan 11, verilen oranlar ve evrensel kümenin eleman sayısı kullanılarak her bir ayrık bölgenin eleman sayısı (

x=12, y=6, z=4, a=b=c=4, d=3, o=8

) bulunduktan sonra,

(A \setminus B)' \cap C

ifadesinin şemada karşılık geldiği bölgelerin eleman sayıları toplamı (

z+b+d = 4+4+3

) hesaplanarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Venn şeması çizilerek 3 kümenin ve evrensel kümenin oluşturduğu 8 ayrık bölge isimlendirilir.

Bölgeler şu şekilde tanımlanır:
- Yalnızca A kümesindeki bölge:

x

- Yalnızca B kümesindeki bölge:

y

- Yalnızca C kümesindeki bölge:

z

- A ve B'nin kesişip C'de olmayan bölgesi:

a

- B ve C'nin kesişip A'da olmayan bölgesi:

b

- A ve C'nin kesişip B'de olmayan bölgesi:

c

- Üç kümenin ortak kesişim bölgesi:

d

- Kümelerin dışındaki evrensel küme bölgesi:

o

Kümelerdeki eleman sayılarını matematiksel olarak ifade etmek ve denklemleri kurabilmek için şema üzerindeki her bir ayrık bölgeyi değişkenlerle göstermek gerekir.

Verilen bilgiler doğrultusunda değişkenler arasında denklemler kurulur.

o = s(A' \cap B' \cap C') = 8

d = s(A \cap B \cap C) = 3

x = 2y = 3z

olduğundan ortak kat olarak

x = 6k

y = 3k

z = 2k

alınır.
-

a = b = c = m

alınır.

Soruda verilen oranları ve doğrudan eleman sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak amaçlanır.

Evrensel kümenin eleman sayısı toplamı kullanılarak

k

m

bilinmeyenleri bulunur.

s(E) = x + y + z + a + b + c + d + o = 45

6k + 3k + 2k + 3m + 3 + 8 = 45 \implies 11k + 3m + 11 = 45 \implies 11k + 3m = 34

k

m

pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan, bu eşitliği sağlayan tek değer çifti

k = 2

m = 4

olur.
Buna göre bölgelerin eleman sayıları:

x = 12

y = 6

z = 4

a = b = c = 4

d = 3

o = 8

Evrensel kümedeki tüm ayrık bölgelerin toplamı toplam eleman sayısını verir.

İstenen

s((A \setminus B)' \cap C)

ifadesinin Venn şemasındaki karşılığı bulunur ve hesaplanır.

(A \setminus B)' \cap C = (A \cap B')' \cap C = (A' \cup B) \cap C = (A' \cap C) \cup (B \cap C)

elde edilir.
Bu küme, Venn şemasında C kümesinin elemanlarından A fark B kümesine ait olanların çıkarılmasıyla kalan kısımdır (

C \setminus (A \setminus B)

).
Bu bölgenin eleman sayısı:

z + b + d

şeklindedir.

s((A \setminus B)' \cap C) = z + b + d = 4 + 4 + 3 = 11

bulunur.

Fark ve tümleme işlemlerinin kuralları kullanılarak hedef küme en sade biçimine getirilir ve şema üzerinde karşılık geldiği bölgelerin eleman sayıları toplanır.

Key Concept

Üç kümenin yer aldığı evrensel küme problemlerinde Venn şeması bölgelerinin değişkenler yardımıyla modellenmesi, fark ve tümleme işlemlerinin sadeleştirilerek şema üzerinde doğru bölgelerle eşleştirilmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic