Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denkleminin sıfırdan farklı gerçel kökleri aa ve bb'dir. Buna göre, kökleri a+1ba + \frac{1}{b} ve b+1ab + \frac{1}{a} olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    3x2+20x+16=03x^2 + 20x + 16 = 0
  2. B
    3x2−10x−4=03x^2 - 10x - 4 = 0
  3. 3x2−20x+16=03x^2 - 20x + 16 = 0Answer
  4. D
    3x2+10x−4=03x^2 + 10x - 4 = 0
  5. E
    5x2−18x+36=05x^2 - 18x + 36 = 0

Answer

3x2−20x+16=03x^2 - 20x + 16 = 0
Doğru cevap olan denklem, köklerin toplamının 203\frac{20}{3} ve çarpımının 163\frac{16}{3} olarak hesaplanıp ikinci dereceden denklem şablonu olan x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülüne yerleştirilmesi ve paydaların eşitlenmesiyle elde edilen 3x2−20x+16=03x^2 - 20x + 16 = 0 ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1
Orijinal denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini belirleyin.
a+b=5a+b = 5 ve ab=3ab = 3 olarak bulunur.
Yeni kurulacak denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını hesaplamak amacıyla, temel değişkenlerin toplam ve çarpım değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.
2
Yeni denklemin kökleri olan x1=a+1bx_1 = a + \frac{1}{b} ve x2=b+1ax_2 = b + \frac{1}{a} ifadelerinin toplamını (SS) hesaplayın.
S=x1+x2=(a+b)+a+bab=5+53=203S = x_1 + x_2 = (a+b) + \frac{a+b}{ab} = 5 + \frac{5}{3} = \frac{20}{3} elde edilir.
İkinci dereceden bir denklem oluşturulurken x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülündeki SS (kökler toplamı) katsayısını bulmak gerekir.
3
Yeni denklemin köklerinin çarpımını (PP) hesaplayın.
P=x1⋅x2=(a+1b)(b+1a)=ab+2+1ab=3+2+13=163P = x_1 \cdot x_2 = \left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{1}{a}\right) = ab + 2 + \frac{1}{ab} = 3 + 2 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} elde edilir.
Oluşturulacak denklemin sabit terimi olan PP (kökler çarpımı) katsayısını belirlemek gerekir.
4
Kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan denklemi x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülü yardımıyla yazıp tam katsayılı hale getirin.
x2−203x+163=0  ⟹  3x2−20x+16=0x^2 - \frac{20}{3}x + \frac{16}{3} = 0 \implies 3x^2 - 20x + 16 = 0 denklemi elde edilir.
Rasyonel katsayılı terimlerden kurtulmak amacıyla tüm denklem paydadaki değer olan 3 ile çarpılarak tam katsayılı standart forma dönüştürülür.

Key Concept

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı, kökler çarpımı formülleri ve kökleri bilinen denklemin yazılması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri