Examkin

Question

Difficulty: MediumBileşke Fonksiyon
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=2x+af(x) = 2x + a ve g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 fonksiyonları için
(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=5(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 5
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, (f∘g)(a)(f \circ g)(a) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    −28-28
  2. −23-23Answer
  3. C
    −10-10
  4. D
    1212
  5. E
    1717

Answer

Doğru cevap −23-23 değeridir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) ve (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) ifadeleri sırasıyla 6x−2+a6x - 2 + a ve 6x+3a−16x + 3a - 1 olarak elde edilir. Bu iki ifadenin farkı olan −2a−1-2a - 1 değeri 55 sayısına eşitlendiğinde a=−3a = -3 bulunur. İstenen (f∘g)(−3)(f \circ g)(-3) değerini hesaplamak için önce içteki fonksiyon olan g(−3)=−10g(-3) = -10 hesaplanır, ardından bu değer dıştaki fonksiyona yazılarak f(−10)=2(−10)−3=−23f(-10) = 2(-10) - 3 = -23 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonların kurallarını elde etmek için (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ve (g∘f)(x)(g \circ f)(x) ifadelerini yazalım.
(f∘g)(x)=f(g(x))=2(3x−1)+a=6x−2+a(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x - 1) + a = 6x - 2 + a
(g∘f)(x)=g(f(x))=3(2x+a)−1=6x+3a−1(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x + a) - 1 = 6x + 3a - 1
Verilen fark denkleminde bu kuralları yerine koyarak aa parametresini bulmak gerekir.
2
Bulunan ifadeleri (f∘g)(x)−(g∘f)(x)=5(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 5 eşitliğinde yerine yazarak denklemi çözelim.
(6x−2+a)−(6x+3a−1)=5  ⟹  −2a−1=5  ⟹  −2a=6  ⟹  a=−3(6x - 2 + a) - (6x + 3a - 1) = 5 \implies -2a - 1 = 5 \implies -2a = 6 \implies a = -3
Bileşke fonksiyonların kuralındaki bilinmeyen aa değerini belirlemek için çıkarma işlemi uygulanır.
3
a=−3a = -3 değerini kullanarak ff ve gg fonksiyonlarını yazıp (f∘g)(−3)(f \circ g)(-3) değerini bulalım.
f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3, g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1
(f∘g)(−3)=f(g(−3))(f \circ g)(-3) = f(g(-3))
g(−3)=3(−3)−1=−10g(-3) = 3(-3) - 1 = -10
f(−10)=2(−10)−3=−23f(-10) = 2(-10) - 3 = -23
Bileşke fonksiyonun değerini bulmak için içten dışa doğru sırayla fonksiyon değerleri hesaplanır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası ve kural oluşturma
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyon

More questions from this topic