Examkin

Question

Difficulty: MediumBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
f:[a,∞)→[b,∞)f: [a, \infty) \rightarrow [b, \infty)
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7
fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    7
  5. E
    9

Answer

5
Fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesi parabolün tepe noktasının apsisi olan 2'den başlamalı veya 2'den büyük olmalıdır (a≥2a \geq 2). Örtenlik şartı gereği değer kümesinin başlangıç sınırı olan bb, tanım kümesindeki en küçük elemanın görüntüsüne eşit olmalıdır (b=f(a)=a2−4a+7b = f(a) = a^2 - 4a + 7). Bu durumda elde edilen a2−3a+7a^2 - 3a + 7 ifadesi, a≥2a \geq 2 koşulu altında en küçük değerini sınır noktası olan a=2a = 2 için alır ve toplam 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi sınırın�� belirlemek.
a≥2a \geq 2 olmalıdır.
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 olup, fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi tepe noktasının sağında veya solunda olmalıdır. Tanım kümesi [a,∞)[a, \infty) şeklinde verildiğinden a≥2a \geq 2 olmalıdır.
2
Fonksiyonun örten olabilmesi için değer kümesi sınırını belirlemek.
b=a2−4a+7b = a^2 - 4a + 7 olmalıdır.
a≥2a \geq 2 aralığında f(x)f(x) artan bir fonksiyondur. Dolayısıyla en küçük değerini x=ax = a noktasında alır ve görüntü kümesi [f(a),∞)[f(a), \infty) olur. Fonksiyonun örten olması için değer kümesi [b,∞)[b, \infty) ile görüntü kümesi eşit olmalıdır, yani b=f(a)=a2−4a+7b = f(a) = a^2 - 4a + 7 olmalıdır.
3
a+ba + b toplamını tek değişken cinsinden yazıp en k��çük değerini bulmak.
En küçük değer 5'tir.
a+b=a+(a2−4a+7)=a2−3a+7a + b = a + (a^2 - 4a + 7) = a^2 - 3a + 7 elde edilir. Bu ifadenin tepe noktası 1,51,5 değerindedir. Ancak a≥2a \geq 2 olması gerektiğinden, ifade a=2a = 2 sınır değerinde en küçük değerini alır. Buradan 22−3(2)+7=52^2 - 3(2) + 7 = 5 bulunur.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonların (parabol) kısıtlı aralıklarda bire bir ve örten olma koşulları

Alternative Method

Grafik çizilerek tepe noktasından itibaren fonksiyonun sadece sağ kolunun (x≥2x \geq 2) alındığı görselleştirilebilir. Bu kolda fonksiyonun daima artan olduğu görülür. En küçük a+ba+b değerini bulmak için sınır noktası olan tepe noktasının koordinatları (2,3)(2, 3) doğrudan kullanılarak 2+3=52 + 3 = 5 toplamına ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

More questions from this topic