Examkin

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

17 questions

Question 1Question →

Aşağıda tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen fonksiyonlardan hangisi bire bir ve örten bir fonksiyondur?

Show answer & explanation

Answer: f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=4−xf(x) = 4 - x

Answer

Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı ve kuralı f(x)=4−xf(x) = 4 - x olan fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.
Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı f(x)=4−xf(x) = 4 - x fonksiyonunda, her farklı xx gerçel sayısı için farklı bir yy değeri elde edilir ve değer kümesindeki her gerçel sayının tanım kümesinde bir karşılığı (x=4−yx = 4 - y) bulunur. Bu nedenle bu fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

Step-by-Step Solution

1
Bire birlik tanımını kontrol etmek.
f(a)=f(b)  ⟹  4−a=4−b  ⟹  a=bf(a) = f(b) \implies 4 - a = 4 - b \implies a = b elde edilir. Bu durum, tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsünün de farklı olduğunu gösterir. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir.
Bir fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir.
2
Örtenlik tanımını kontrol etmek.
Değer kümesinden seçilen herhangi bir y∈Ry \in \mathbb{R} için 4−x=y  ⟹  x=4−y4 - x = y \implies x = 4 - y olur. Her yy gerçel sayısı için 4−y4 - y de bir gerçel sayı olduğundan tanım kümesinde her zaman bir karşılığı vardır.
Değer kümesinde açıkta eleman kalmaması, yani değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir elemanla eşleşmesi gerekir.

Key Concept

Bir fonksiyonun bire bir ve örten olması, tanım ve değer kümelerindeki elemanların bire bir eşleşmesine ve değer kümesinde açıkta eleman kalmamasına bağlıdır.
Estimated Time:1m 30s
Question 2Question →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
f:[a,∞)→[b,∞)f: [a, \infty) \rightarrow [b, \infty)
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7
fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

5
Fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesi parabolün tepe noktasının apsisi olan 2'den başlamalı veya 2'den büyük olmalıdır (a≥2a \geq 2). Örtenlik şartı gereği değer kümesinin başlangıç sınırı olan bb, tanım kümesindeki en küçük elemanın görüntüsüne eşit olmalıdır (b=f(a)=a2−4a+7b = f(a) = a^2 - 4a + 7). Bu durumda elde edilen a2−3a+7a^2 - 3a + 7 ifadesi, a≥2a \geq 2 koşulu altında en küçük değerini sınır noktası olan a=2a = 2 için alır ve toplam 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi sınırın�� belirlemek.
a≥2a \geq 2 olmalıdır.
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 olup, fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi tepe noktasının sağında veya solunda olmalıdır. Tanım kümesi [a,∞)[a, \infty) şeklinde verildiğinden a≥2a \geq 2 olmalıdır.
2
Fonksiyonun örten olabilmesi için değer kümesi sınırını belirlemek.
b=a2−4a+7b = a^2 - 4a + 7 olmalıdır.
a≥2a \geq 2 aralığında f(x)f(x) artan bir fonksiyondur. Dolayısıyla en küçük değerini x=ax = a noktasında alır ve görüntü kümesi [f(a),∞)[f(a), \infty) olur. Fonksiyonun örten olması için değer kümesi [b,∞)[b, \infty) ile görüntü kümesi eşit olmalıdır, yani b=f(a)=a2−4a+7b = f(a) = a^2 - 4a + 7 olmalıdır.
3
a+ba + b toplamını tek değişken cinsinden yazıp en k��çük değerini bulmak.
En küçük değer 5'tir.
a+b=a+(a2−4a+7)=a2−3a+7a + b = a + (a^2 - 4a + 7) = a^2 - 3a + 7 elde edilir. Bu ifadenin tepe noktası 1,51,5 değerindedir. Ancak a≥2a \geq 2 olması gerektiğinden, ifade a=2a = 2 sınır değerinde en küçük değerini alır. Buradan 22−3(2)+7=52^2 - 3(2) + 7 = 5 bulunur.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonların (parabol) kısıtlı aralıklarda bire bir ve örten olma koşulları

Alternative Method

Grafik çizilerek tepe noktasından itibaren fonksiyonun sadece sağ kolunun (x≥2x \geq 2) alındığı görselleştirilebilir. Bu kolda fonksiyonun daima artan olduğu görülür. En küçük a+ba+b değerini bulmak için sınır noktası olan tepe noktasının koordinatları (2,3)(2, 3) doğrudan kullanılarak 2+3=52 + 3 = 5 toplamına ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 3Question →

f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} olmak üzere,

f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: Bire birdir fakat örten değildir.

Answer

Bire birdir fakat örten değildir.
Bire birdir fakat örten değildir ifadesi doğrudur. Çünkü her farklı tam sayının iki katının bir fazlası da farklıdır, bu da bire birliği sağlar. Ancak değer kümesindeki çift sayılar boşta kalır çünkü hiçbir tam sayının iki katının bir fazlası çift sayı olamaz.

Step-by-Step Solution

1
Bire birlik özelliğinin incelenmesi
Tanım kümesindeki her x1,x2∈Zx_1, x_2 \in \mathbb{Z} için f(x1)=f(x2)⇒2x1+1=2x2+1⇒x1=x2f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2 bulunur.
Farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması bire birliğin tanımıdır. Bu eşitlik fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.
2
Örtenlik özelliğinin genel analizi
Değer kümesindeki herhangi bir y∈Zy \in \mathbb{Z} için y=2x+1⇒x=y−12y = 2x + 1 \Rightarrow x = \frac{y-1}{2} elde edilir.
Değer kümesindeki her yy tam sayısına karşılık gelen xx değerinin tanım kümesi olan Z\mathbb{Z}'de olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
3
Örtenliği bozan karşıt örneğin bulunması
Örneğin y=2y = 2 için x=12x = \frac{1}{2} olur. Ancak 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} olduğundan, değer kümesindeki 2 çift tam sayısının tanım kümesinde bir karşılığı yoktur.
Değer kümesinde en az bir eleman boşta kaldığı için fonksiyon örten değildir.

Key Concept

Bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tanım ve değer kümelerinin eleman özelliklerinin sağlanması gerekir.
Estimated Time:1m 30s
Question 4Question →

Bire bir ve örten fonksiyonlar; tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleştiği ve değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı fonksiyonlardır.

Buna göre, aşağıda tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen fonksiyonlardan hangisi bire bir ve örten bir fonksiyondur?

Show answer & explanation

Answer: f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5

Answer

Reel sayılardan reel sayılara tanımlı ve her x elemanını 2x - 5 değerine götüren fonksiyon
Reel sayılardan reel sayılara tanımlı 2x−52x - 5 fonksiyonunda, her farklı girdinin farklı çıktısı vardır ve değer kümesindeki her reel sayının tanım kümesinde bir karşılığı bulunur. Bu yüzden hem bire bir hem de örtendir.

Step-by-Step Solution

1
Seçeneklerdeki fonksiyonların bire bir olma durumunu kontrol etme.
Doğal sayılar kümesinde x+3x + 3, tam sayılar kümesinde 3x3x, reel sayılarda 2x−52x - 5 ve doğal sayılardan tam sayılara x2x^2 fonksiyonları bire birdir. Ancak reel sayılarda tanımlı x2−1x^2 - 1 fonksiyonunda f(1)=f(−1)=0f(1) = f(-1) = 0 olduğundan bire birlik bozulur.
Bire bir fonksiyon tanımına göre farklı girdilerin farklı çıktılara gitmesi gerekir.
2
Seçeneklerdeki fonksiyonların örten olma durumunu tanım ve değer kümelerine göre kontrol etme.
Doğal sayılarda x+3x + 3 fonksiyonunda 0,1,20, 1, 2 açıkta kalır. Tam sayılarda 3x3x fonksiyonunda 33'ün katı olmayan tam sayılar açıkta kalır. Doğal sayılardan tam sayılara x2x^2 fonksiyonunda negatif tam sayılar açıkta kalır. Oysa 2x−52x - 5 fonksiyonunda her reel sayı için x=y+52x = \frac{y+5}{2} reel sayısı bulunabileceğinden değer kümesinde açıkta eleman kalmaz.
Örten fonksiyon tanımına göre değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olmalıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun tanım ve değer kümelerine bağlı olarak bire birlik ve örtenlik özelliklerinin incelenmesi.
Estimated Time:1m 0s
Question 5Question →
Gerçek say��lar kümesinde tanımlı
f(x)={3x−m,x≤2x2−4x+n,x>2f(x) = \begin{cases} 3x - m, & x \leq 2 \\ x^2 - 4x + n, & x > 2 \end{cases}
fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, m+nm + n toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
Fonksiyonun gerçek sayılar kümesinde bire bir ve örten olabilmesi için parçalı tanımlanan doğrusal kısım ile parabolik kısmın görüntü kümelerinin sınır noktasında boşluk veya çakışma yaratmayacak şekilde birleşmesi gerekir. x≤2x \leq 2 için doğrusal kısmın alabileceği en büyük değer 6−m6 - m, x>2x > 2 için parabolik kısmın tepe noktasından (x=2x=2) itibaren aldığı değerler ise n−4n - 4'ten büyüktür. Bu iki sınır değerinin eşit olması durumunda (6−m=n−46 - m = n - 4) fonksiyon tüm gerçek sayılarda hem bire bir hem de örten olur. Buradan m+n=10m + n = 10 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal parçanın (x≤2x \leq 2) görünt�� kümesini belirlemek.
x≤2x \leq 2 için f(x)=3x−mf(x) = 3x - m doğrusal fonksiyonu tanımlıdır. Eğim pozitif olduğundan fonksiyon artandır ve en büyük değerini sınır noktası olan x=2x = 2 değerinde alır. Bu değer f(2)=6−mf(2) = 6 - m olup, doğrusal parçanın görüntü kümesi (−∞,6−m](-\infty, 6 - m] aralığıdır.
Parçalı fonksiyonun genel görüntü kümesini belirlemek ve bire bir/örtenlik analizini yapmak için her bir parçanın sınır değerlerini ve yönünü belirlememiz gerekir.
2
Parabolik parçanın (x>2x > 2) görüntü kümesini belirlemek.
x>2x > 2 için f(x)=x2−4x+nf(x) = x^2 - 4x + n ikinci dereceden fonksiyonu tanımlıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r=−−42=2r = -\frac{-4}{2} = 2 değeridir. Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan ve tepe noktası sınır değerinde bulunduğundan, x>2x > 2 aralığında fonksiyon daima artandır. Sınır noktası olan x=2x = 2 için parabolün limiti 22−4(2)+n=n−42^2 - 4(2) + n = n - 4 olur. Dolayısıyla bu parçanın görüntü kümesi (n−4,∞)(n - 4, \infty) aralığıdır.
Parabolün artan/azalan olduğu aralığı belirlemek ve görüntü kümesinin sınır değerini bulmak için tepe noktasını analiz etmemiz gerekir.
3
Görüntü kümelerini bire bir ve örtenlik koşuluna göre eşitlemek.
Fonksiyonun gerçek sayılarda tanımlı ve örten olabilmesi için her iki parçanın görüntü kümelerinin birleşimi tüm gerçek sayıları (R\mathbb{R}) oluşturmalıdır. Bire bir olması için ise görüntü kümelerinin kesişimi boş küme olmalıdır. Bu koşullar��n aynı anda sağlanması ancak sınır değerlerinin birbirine eşit olmasıyla mümkündür: 6−m=n−4  ⟹  m+n=106 - m = n - 4 \implies m + n = 10 elde edilir.
Görüntü kümelerinde boşluk (tanımsızlık/örten olmama) veya çakışma (bire bir olmama) durumunu engellemek için sınır değerleri eşitlenmelidir.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonların bire bir ve örtenliği

Alternative Method

Fonksiyonun grafiğini çizerek doğrusal parça ile parabolik parçanın x=2x = 2 apsisli sınır noktasında kopma veya üst üste gelme (çakışma) olmadan birleşmesi gerektiğini görsel olarak görmek de çözüme ulaştırır. x=2x=2 için 3(2)−m=22−4(2)+n3(2)-m = 2^2-4(2)+n eşitliğinden doğrudan m+n=10m+n=10 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →

Tanım kümesi A={−1,0,2}A = \{-1, 0, 2\} ve değer kümesi B={1,2,5}B = \{1, 2, 5\} olan bir f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonu,

f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

kuralı ile tanımlanıyor. Buna göre, ff fonksiyonunun bire bir ve örtenlik durumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: Bire bir ve örten bir fonksiyondur

Answer

Bire bir ve örten bir fonksiyondur
Fonksiyonun tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüleri (f(−1)=2f(-1)=2, f(0)=1f(0)=1, f(2)=5f(2)=5) birbirinden farklı olduğu için fonksiyon bire birdir. Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşit (f(A)=Bf(A)=B) olduğundan ve değer kümesinde açıkta eleman kalmadığından fonksiyon örtendir. Bu nedenle fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesindeki her bir elemanın fonksiyon altındaki görüntüsünü hesaplayalım.
f(−1)=(−1)2+1=2f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2, f(0)=02+1=1f(0) = 0^2 + 1 = 1 ve f(2)=22+1=5f(2) = 2^2 + 1 = 5 olarak bulunur.
Fonksiyonun bire bir ve örten olup olmadığını incelemek için elemanların eşleştiği değerleri bulmamız gerekir.
2
Fonksiyonun örtenlik durumunu inceleyelim.
Görüntü kümesi f(A)={1,2,5}f(A) = \{1, 2, 5\} olur. Değer kümesi B={1,2,5}B = \{1, 2, 5\} olduğuna göre, f(A)=Bf(A) = B eşitliği sağlanır.
Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşit olduğunda değer kümesinde açıkta eleman kalmaz ve fonksiyon örten olur.
3
Fonksiyonun bire birlik durumunu inceleyelim.
f(−1)=2f(-1) = 2, f(0)=1f(0) = 1 ve f(2)=5f(2) = 5 değerlerinin hepsi birbirinden farklıdır.
Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de farklı olduğundan fonksiyon bire birdir.

Key Concept

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların görüntüleri birbirinden farklı ise fonksiyon bire bir, değer kümesindeki tüm elemanlar en az bir elemanla eşleşmiş ise fonksiyon örtendir.
Estimated Time:1m 30s
Question 7Question →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} olmak üzere, f:A→Af: A \rightarrow A tanımlı bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için,

f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5
f(2)+f(3)=7f(2) + f(3) = 7

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)f(4) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

f(4) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 3'tür.
Bire bir ve örtenlik kuralları uygulandığında, f(2)+f(3)=7f(2) + f(3) = 7 eşitliğini sağlayan tek ikilinin {3,4}\{3, 4\} olduğu görülür. Buradan çıkan iki olası eşleşme durumu incelendiğinde, f(4)f(4)'ün alabileceği değerler 1 ve 2 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun bire bir ve örtenlik özelliklerini tanım kümesi üzerinde analiz etmek.
f(1)f(1), f(2)f(2), f(3)f(3) ve f(4)f(4) değerleri {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} kümesinin elemanları ile bire bir eşleşmelidir. Dolayısıyla bu değerlerin her biri birbirinden farklı olmalıdır.
Bire bir ve örten fonksiyon tanımı gereği tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olmalı ve değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
2
f(2)+f(3)=7f(2) + f(3) = 7 eşitliğini sağlayan eleman çiftini belirlemek.
{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} kümesinden toplamları 7 olan tek ikili {3,4}\{3, 4\}'tür. Bu durumda {f(2),f(3)}={3,4}\{f(2), f(3)\} = \{3, 4\} olmalıdır.
Kümedeki diğer hiçbir iki elemanın toplamı 7 etmemektedir.
3
f(2)=4f(2) = 4 durumunu incelemek.
f(2)=4f(2) = 4 ise f(3)=3f(3) = 3 olur. f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5 eşitliğinden f(1)+4=5  ⟹  f(1)=1f(1) + 4 = 5 \implies f(1) = 1 elde edilir. Görüntü kümesinde kalan son eleman olan 2 sayısı f(4)f(4)'e eşlenir. Yani f(4)=2f(4) = 2 olur.
Bire bir ve örtenliği korumak için boşta kalan son eleman eşlenmelidir.
4
f(2)=3f(2) = 3 durumunu incelemek.
f(2)=3f(2) = 3 ise f(3)=4f(3) = 4 olur. f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5 eşitliğinden f(1)+3=5  ⟹  f(1)=2f(1) + 3 = 5 \implies f(1) = 2 elde edilir. Görüntü kümesinde kalan son eleman olan 1 sayısı f(4)f(4)'e eşlenir. Yani f(4)=1f(4) = 1 olur.
Bire bir ve örtenliği korumak için boşta kalan son eleman eşlenmelidir.
5
f(4)f(4)'ün alabileceği değerlerin toplamını hesaplamak.
Değerlerin toplamı 2+1=32 + 1 = 3 olarak bulunur.
İki farklı durumdan elde edilen olası f(4)f(4) değerleri toplanır.

Key Concept

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Question 8Question →
f:[−3,3]→[−6,4]f: [-3, 3] \rightarrow [-6, 4]

olmak üzere,

f(x)={2x+a,−3≤x<−1−3x+b,−1≤x≤0x+c,0<x≤3f(x) = \begin{cases} 2x + a, & -3 \leq x < -1 \\ -3x + b, & -1 \leq x \leq 0 \\ x + c, & 0 < x \leq 3 \end{cases}

fonksiyonu tanımlanıyor.

ff fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Fonksiyonun bire bir ve örten olmasını sağlayan parametre değerlerinin toplamı -1'dir.
Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için, tanım kümesinin parçalandığı üç alt aralığın fonksiyon altındaki görüntülerinin kesişimleri boş küme olmalı ve birleşimleri değer kümesi olan [−6,4][-6, 4] aralığını tam olarak örtmelidir. Birinci parçanın (2x+a2x+a) görüntü kümesi [a−6,a−2)[a-6, a-2), ikinci parçanın (−3x+b-3x+b) görüntü kümesi [b,b+3][b, b+3] ve üçüncü parçanın (x+cx+c) görüntü kümesi (c,c+3](c, c+3] şeklindedir. Değer kümesinin toplam uzunluğu 10 birim olduğundan ve görüntü aralıklarının uzunlukları toplamı da 4+3+3=104+3+3=10 birim olduğundan, bu aralıklar boşluk kalmayacak ve üst üste binmeyecek şekilde sıralanmalıdır. Sol uç noktası kapalı olan ilk aralık [−6,−2)[-6, -2) olacağından a=0a=0 bulunur. Bu aralığın bittiği −2-2 noktasında kapalı başlayan ikinci aralık [−2,1][-2, 1] olacağından b=−2b=-2 elde edilir. Bu aralığın bittiği 11 noktasında açık başlayan son aralık ise (1,4](1, 4] olacağından c=1c=1 olur. Buradan parametrelerin toplamı 0+(−2)+1=−10 + (-2) + 1 = -1 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parçalı fonksiyonun alt aralıklardaki monotonluk (artanlık/azalanlık) durumlarını belirlemek.
Birinci parça (2x+a2x+a) pozitif eğimli olduğundan artan, ikinci parça (−3x+b-3x+b) negatif eğimli olduğundan azalan, üçüncü parça (x+cx+c) pozitif eğimli olduğundan artandır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için her bir parçanın kendi aralığındaki görünt�� kümesini (sınır değerlerini) doğru belirlemek gerekir.
2
Her bir parçanın tanım aralığına göre görüntü kümesini parametrik olarak yazmak.
1. parça için x∈[−3,−1)  ⟹  R1=[a−6,a−2)x \in [-3, -1) \implies R_1 = [a - 6, a - 2);
2. parça için x∈[−1,0]  ⟹  R2=[b,b+3]x \in [-1, 0] \implies R_2 = [b, b + 3] (azalan olduğu için sınırlar yön değiştirir);
3. parça için x∈(0,3]  ⟹  R3=(c,c+3]x \in (0, 3] \implies R_3 = (c, c + 3] elde edilir.
Bire bir ve örtenlik için bu üç görüntü kümesinin ayrık olması ve birleşimlerinin değer kümesi olan [−6,4][-6, 4] aralığını kaplaması gerekir.
3
Aralık boylarını karşılaştırarak görüntü kümelerinin değer kümesi üzerindeki dizilimini belirlemek.
Değer kümesi [−6,4][-6, 4] aralığının boyu 10 birimdir. Görüntü kümelerinin boyları sırasıyla 4, 3 ve 3 birim olup toplamları 4+3+3=104+3+3=10 birimdir. Bu nedenle aralıklar örtüşmemeli ve uç uca eklenmelidir.
Toplam uzunluğun değer kümesinin uzunluğuna eşit olması, aralıkların uç noktalarının birbirini takip etmesi gerektiğini gösterir.
4
Aralıkların uç noktalarını değer kümesinin sınırlarına eşitleyerek parametreleri çözmek.
En soldaki aralık sol ucu kapalı olan R1R_1 olmalıdır: a−6=−6  ⟹  a=0a - 6 = -6 \implies a = 0. Böylece R1=[−6,−2)R_1 = [-6, -2) olur.
R1R_1 açık bittiğinden, bir sonraki kapalı başlayan aralık R2R_2 olmalıdır: b=−2b = -2. Böylece R2=[−2,1]R_2 = [-2, 1] olur.
R2R_2 kapalı bittiğinden, son aralık sol ucu açık olan R3R_3 olmalıdır: c=1c = 1. Böylece R3=(1,4]R_3 = (1, 4] olur.
Uç noktaların dahil olma (açık/kapalı) durumlarına dikkat edilerek kesintisiz ve örtüşmeyen bir birleşim kümesi oluşturulur.
5
Bulunan parametre değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.
a+b+c=0+(−2)+1=−1a + b + c = 0 + (-2) + 1 = -1 bulunur.
Soruda bizden istenen parametrelerin toplam değeridir.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonların tanım ve değer kümelerine göre bire bir ve örtenlik analizi
Question 9Question →

Bire bir ve örten fonksiyon tanımlarını inceleyen bir öğrenci, aşağıdaki üç farklı fonksiyonu ele alıyor:

I. f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1
II. g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x2g(x) = x^2
III. h:N→Nh: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, h(x)=x+3h(x) = x + 3

Buna göre; ff, gg ve hh fonksiyonlarından hangileri bire bir olduğu hâlde örten değildir?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III
Birinci öncüldeki f fonksiyonu ve üçüncü öncüldeki h fonksiyonu, elemanların farklı elemanlarla eşleşmesi nedeniyle bire birdir. Ancak tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin sınırları nedeniyle değer kümelerinde eşleşmeyen elemanlar kalmaktadır. Dolayısıyla bu iki fonksiyon bire bir olduğu hâlde örten değildir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncüldeki f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.
ff fonksiyonu bire birdir fakat örten değildir.
2a+1=2b+1  ⟹  a=b2a+1 = 2b+1 \implies a=b olduğundan bire birdir. Değer kümesindeki çift tam sayılara (örneğin 00 veya 22) ulaşan bir tam sayı bulunamadığı için örten değildir.
2
İkinci öncüldeki g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.
gg fonksiyonu ne bire bir ne de örtendir.
g(−1)=g(1)=1g(-1) = g(1) = 1 olduğundan bire bir değildir. Negatif gerçek sayıların karekökü gerçek sayı olmadığından (örneğin x2=−1x^2 = -1 denkleminin gerçel çözümü yoktur) örten değildir.
3
Üçüncü öncüldeki h(x)=x+3h(x) = x + 3 fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.
hh fonksiyonu bire birdir fakat örten değildir.
a+3=b+3  ⟹  a=ba+3 = b+3 \implies a=b olduğundan bire birdir. Tanım kümesi doğal sayılar olduğundan, değer kümesindeki 0,1,20, 1, 2 elemanlarının (x+3=0  ⟹  x=−3∉Nx+3=0 \implies x=-3 \notin \mathbb{N}) ön görüntüsü yoktur. Dolayısıyla örten değildir.

Key Concept

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Question 10Question →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=∣x−3∣+mx+2f(x) = |x - 3| + mx + 2
fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Buna göre, mm ger��el sayısının alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty, -1) \cup (1, \infty)

Answer

m gerçel sayısının alabileceği değerlerin kümesi, eksi sonsuz ile eksi bir açık aralığı ile bir ile artı sonsuz açık aralığının birleşimidir.
Gerçel sayılar kümesinde sürekli olan parçalı doğrusal bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için her iki parçadaki doğrusal grafiklerin eğimlerinin aynı işaretli olması gerekir. Bu durum (m+1)(m−1)>0(m+1)(m-1) > 0 eşitsizliğini doğurur. Eşitsizliğin çözüm kümesi ise eksi sonsuz ile eksi bir açık aralığı ile bir ile artı sonsuz açık aralığının birleşimidir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli ifadenin kritik noktasını belirleyip fonksiyonu parçalı tanımlı yazalım.
Kritik nokta x=3x = 3 değeridir. Fonksiyon x≥3x \ge 3 ve x<3x < 3 durumlarına göre ikiye ayrılır.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için kritik noktaya göre inceleme yapılması gerekir.
2
x≥3x \ge 3 için fonksiyonun kuralını belirleyelim.
f(x)=(x−3)+mx+2=(m+1)x−1f(x) = (x - 3) + mx + 2 = (m + 1)x - 1 elde edilir. Bu aralıktaki eğim m+1m + 1 değeridir.
x≥3x \ge 3 iken ∣x−3∣=x−3|x-3| = x-3 olarak dışarı çıkar.
3
x<3x < 3 için fonksiyonun kuralını belirleyelim.
f(x)=−(x−3)+mx+2=(m−1)x+5f(x) = -(x - 3) + mx + 2 = (m - 1)x + 5 elde edilir. Bu aralıktaki eğim m−1m - 1 değeridir.
x<3x < 3 iken ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olarak dışarı çıkar.
4
Fonksiyonun bire bir ve örten olma koşulunu uygulayalım.
Tanımlı olduğu tüm gerçel sayılarda sürekli olan bu parçalı doğrusal fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için daima artan veya daima azalan olması gerekir. Bu da her iki bölgedeki eğimlerin aynı işaretli olması, yani çarpımlarının pozitif olması anlamına gelir: (m+1)(m−1)>0(m + 1)(m - 1) > 0. Buradan m>1m > 1 veya m<−1m < -1 elde edilir.
Eğimler zıt işaretli olsaydı fonksiyon bir bölgede artarken diğerinde azalacaktı ve yatay doğru testini geçemeyecekti. Eğimlerden biri sıfır olsaydı sabit fonksiyon oluşur ve yine bire birlik bozulurdu.

Key Concept

Parçalı Doğrusal Fonksiyonların Bire Bir ve Örtenlik Şartı
Question 11Question →
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
A=R−{a}A = \mathbb{R} - \{a\}
B=R−{b}B = \mathbb{R} - \{b\}
kümeleri tanımlanıyor.
f:A→Bf: A \rightarrow B tanımlı
f(x)=3x−52x−4f(x) = \frac{3x - 5}{2x - 4}
fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, a⋅f(b)a \cdot f(b) çarpımının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

1
Doğru cevap 1'dir. Rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılan a=2a = 2 değeridir. Fonksiyonun değer kümesinden çıkarılan değer ise yatay asimptotu olan b=32b = \frac{3}{2} değeridir. bb değeri fonksiyonda yerine yazıldığında f(32)=12f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} elde edilir. Bu iki değerin çarpılmasıyla a⋅f(b)=2⋅12=1a \cdot f(b) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun tanım kümesini belirlemek için paydayı sıfır yapan değeri buluruz.
2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 olduğundan a=2a = 2 olur. Böylece tanım kümesi A=R−{2}A = \mathbb{R} - \{2\} şeklindedir.
Rasyonel bir ifadenin tanımlı olabilmesi için paydasının sıfır olmaması gerekir. Bu yüzden paydayı sıfır yapan x=2x = 2 değeri tanım kümesinden çıkarılmıştır.
2
Fonksiyonun bire bir ve örten olmasından faydalanarak değer kümesini (görüntü kümesini) buluruz.
y=3x−52x−4y = \frac{3x - 5}{2x - 4} ifadesinde xx yalnız bırakılırsa x=4y−52y−3x = \frac{4y - 5}{2y - 3} elde edilir. Buradan paydayı sıfır yapan y=32y = \frac{3}{2} değeri görüntü kümesinde yer alamaz. Dolayısıyla b=32b = \frac{3}{2} olur ve değer kümesi B=R−{32}B = \mathbb{R} - \{\frac{3}{2}\} olarak bulunur.
Bire bir ve örten fonksiyonlarda değer kümesi görüntü kümesine eşittir. Fonksiyonun tersinin paydasını sıfır yapan değer, fonksiyonun alamayacağı değerdir.
3
Elde edilen b=32b = \frac{3}{2} değerini fonksiyonda yerine yazarak f(b)f(b) değerini hesaplarız.
f(32)=3(32)−52(32)−4=92−53−4=−12−1=12f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3\left(\frac{3}{2}\right) - 5}{2\left(\frac{3}{2}\right) - 4} = \frac{\frac{9}{2} - 5}{3 - 4} = \frac{-\frac{1}{2}}{-1} = \frac{1}{2} bulunur.
Çarpımda kullanılacak olan f(b)f(b) değerini elde etmek için xx yerine b=32b = \frac{3}{2} yazılması gerekir.
4
aa ve f(b)f(b) değerlerini çarparak sonuca ulaşırız.
a⋅f(b)=2⋅12=1a \cdot f(b) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 elde edilir.
Soru kökünde bizden istenen işlem aa ile f(b)f(b) değerlerinin çarpımıdır.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonların bire bir ve örtenlik koşulları altında tanım ve değer kümelerinin belirlenmesi
Question 12Question →
Tanım ve değer kümeleri gerçel sayıların alt kümeleri olan
f(x)=(3−a)x+7f(x) = (3 - a)x + 7
fonksiyonu f:[2,∞)→(−∞,3]f: [2, \infty) \rightarrow (-\infty, 3] biçiminde tanımlanıyor.
ff fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

5
Bir doğrusal fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten olabilmesi için fonksiyonun bu aralıkta sürekli artan ya da sürekli azalan olması gerekir. Değer kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olarak verildiği için fonksiyonun azalan olması zorunludur. Dolayısıyla eğim negatif olmalıdır: 3−a<0  ⟹  a>33 - a < 0 \implies a > 3. Azalan bir fonksiyonun [2,∞)[2, \infty) aralığındaki en büyük değeri tanım kümesinin başlangıç noktası olan x=2x = 2 için gerçekleşir. Fonksiyonun örten olması için bu en büyük değerin değer kümesinin üst sınırı olan 3'e eşit olması gerekir. Buradan f(2)=3f(2) = 3 eşitliği elde edilir. Fonksiyon kuralında x=2x = 2 yazılarak (3−a)⋅2+7=3(3 - a) \cdot 2 + 7 = 3 denklemi çözüldüğünde a=5a = 5 bulunur. 5 değeri a>3a > 3 şartını sağladığından doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu belirleme
3−a<0  ⟹  a>33 - a < 0 \implies a > 3
Değer kümesi (−∞,3](-\infty, 3] biçiminde yukarıdan sınırlı ve aşağıdan sınırsız olduğu için doğrusal fonksiyonun azalan olması gerekir. Bu nedenle eğim (x'in katsayısı) negatif olmalıdır.
2
Örtenlik şartını kullanarak sınır değerini eşitleme
f(2)=3f(2) = 3
Azalan bir fonksiyon, [2,∞)[2, \infty) aralığında en büyük değerini sol uç nokta olan x=2x = 2 noktasında alır. Fonksiyonun değer kümesini tamamen örtebilmesi için bu en büyük değer, değer kümesinin üst sınırı olan 3'e eşit olmalıdır.
3
Elde edilen denklemi çözerek a de��erini bulma
a=5a = 5
f(2)=(3−a)⋅2+7=3  ⟹  6−2a+7=3  ⟹  13−2a=3  ⟹  2a=10  ⟹  a=5f(2) = (3 - a) \cdot 2 + 7 = 3 \implies 6 - 2a + 7 = 3 \implies 13 - 2a = 3 \implies 2a = 10 \implies a = 5 işlemleri uygulanır. Bulunan 5 değeri a>3a > 3 şartını sağladığı için geçerlidir.

Key Concept

Doğrusal fonksiyonların belirli aralıklarda bire bir ve örtenlik koşulları
Estimated Time:2m 0s
Question 13Question →

Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x+a,x c¸ift isex+b,x tek isef(x) = \begin{cases} x + a, & x \text{ çift ise} \\ x + b, & x \text{ tek ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere, ff fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a+ba + b çift sayıdır.

Answer

İki parametrenin toplamının çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.
Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tanım kümesindeki tek ve çift sayıların görüntülerinin çakışmaması ve değer kümesindeki tüm tam sayıları kapsaması gerekir. Bu durum, parametrelerin her ikisinin de çift ya da her ikisinin de tek olmasını gerektirir. Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki tam sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, iki parametrenin toplamının çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesindeki elemanların tek ve çift olma durumlarına göre görüntü kümesini gruplandırmak.
Girdi olarak çift sayılar (x=2kx = 2k) seçildiğinde görüntüler E=2k+aE = 2k + a kümesini, tek sayılar (x=2k+1x = 2k+1) seçildiğinde ise görüntüler O=2k+1+bO = 2k + 1 + b kümesini oluşturur.
Parçalı tanımlanmış fonksiyonun farklı girdiler altında ürettiği çıktıların yapısını incelemek gerekir.
2
Bire bir ve örtenlik koşulunu görüntü kümeleri üzerinden analiz etmek.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması için çift sayıların görüntülerinin kümesi (EE) ile tek sayıların görüntülerinin kümesi (OO) ayrık olmalı (E∩O=∅E \cap O = \emptyset) ve birleşimleri tüm tam sayılar kümesini vermelidir (E∪O=ZE \cup O = \mathbb{Z}).
Değer kümesindeki her elemanın yalnızca bir kez eşle��mesi (bire birlik) ve açıkta eleman kalmaması (örtenlik) bu iki kümenin tam sayıları tam olarak bölüşmesini gerektirir.
3
aa ve bb parametrelerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
aa ve bb tam sayılarının her ikisinin de çift ya da her ikisinin de tek olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Yani aa ve bb aynı pariteye sahiptir.
Eğer aa çift ise EE kümesi çift sayılardan oluşur ve bu durumda OO kümesi tek sayılardan oluşmalıdır (bu da bb'nin çift olmasını gerektirir). Eğer aa tek ise EE kümesi tek sayılardan oluşur ve bu durumda OO kümesi çift sayılardan oluşmalıdır (bu da bb'nin tek olmasını gerektirir).
4
Bulunan sonuca göre aa ve bb arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini toplama işlemine uygulamak.
Aynı pariteye sahip (her ikisi de çift veya her ikisi de tek) iki tam sayının toplamı (a+ba + b) her zaman çift bir sayıdır.
Çift + Çift = Çift ve Tek + Tek = Çift temel aritmetik kurallarından dolayı bu toplam her zaman çifttir.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda tanım ve değer kümelerine göre bire birlik ve örtenlik analizi
Estimated Time:2m 0s
Question 14Question →
aa bir tam sayı olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(n)=a⋅n+(−1)nf(n) = a \cdot n + (-1)^n
fonksiyonu veriliyor.

ff fonksiyonu bire bir olduğuna göre,

I. aa sayısı 2 olamaz.
II. ff fonksiyonunun örten olması için aa sayısının alabileceği 2 farklı değer vardır.
III. a=3a = 3 için ff fonksiyonunun görüntü kümesinde 3 ile kalansız bölünebilen en az bir tam sayı bulunur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II öncüllerinin doğru olduğunu belirten seçenek
Doğru seçenek olan I ve II öncüllerini içeren şık doğrudur. Çünkü a=2a=2 değeri için fonksiyonun farklı iki noktada aynı değeri alması bire birliği bozduğundan aa sayısı 2 olamaz. Fonksiyonun örtenliği ise tanım kümesindeki tam sayı yapısından dolayı parametrenin yalnızca 11 veya −1-1 olmasına bağlıdır. a=3a=3 için fonksiyon çıktılarının 3 ile bölümünden kalanlar asla 0 olamayacağı için görüntü kümesinde 3 ile bölünen eleman bulunmaz.

Step-by-Step Solution

1
Bire birlik tanımını kullanarak birinci öncülün (a≠2a \neq 2) analizi
a=2a = 2 için fonksiyon f(n)=2n+(−1)nf(n) = 2n + (-1)^n hâlini alır. Bu durumda f(0)=2(0)+(−1)0=1f(0) = 2(0) + (-1)^0 = 1 ve f(1)=2(1)+(−1)1=2−1=1f(1) = 2(1) + (-1)^1 = 2 - 1 = 1 elde edilir. Farklı iki girdi (0≠10 \neq 1) aynı çıktıya (11) gittiğinden fonksiyon bire bir olamaz. Dolayısıyla bire bir olan bu fonksiyonda aa sayısı 2 olamaz, birinci öncül doğrudur.
Fonksiyonun bire bir olması, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesini gerektirir.
2
Örtenlik tanımını kullanarak ikinci öncülün analizi
Görüntü kümesinin tüm tam sayılar kümesini kaplaması için ∣a∣≤1|a| \le 1 olmalıdır. Eğer ∣a∣>1|a| > 1 (örneğin a≥2a \ge 2 veya a≤−2a \le -2) olursa, ardışık çift ve tek girdilerin ürettiği çıktılar arasındaki fark çok büyüyecek ve arada kalan tam sayılar örtülemeyecektir. a=0a = 0 için f(n)=(−1)nf(n) = (-1)^n olur ve sadece {−1,1}\{-1, 1\} kümesini örter. a=1a = 1 için f(n)=n+(−1)nf(n) = n + (-1)^n ve a=−1a = -1 için f(n)=−n+(−1)nf(n) = -n + (-1)^n fonksiyonları bire bir ve örtendir. Dolayısıyla aa sayısı 11 veya −1-1 olmak üzere tam olarak 2 farklı değer alabilir, ikinci öncül doğrudur.
Örten fonksiyonlarda değer kümesinde (tam sayılar) eşleşmemiş eleman kalmamalıdır. Katsayının büyümesi adımlar arasındaki mesafeyi açarak örtenliği bozar.
3
Modüler aritmetik kullanarak üçüncü öncülün analizi
a=3a = 3 için fonksiyon f(n)=3n+(−1)nf(n) = 3n + (-1)^n olur. Bu ifadenin 3 ile bölümünden kalanı (mod 3 altındaki durumunu) inceleyelim: f(n)≡3n+(−1)n≡(−1)n(mod3)f(n) \equiv 3n + (-1)^n \equiv (-1)^n \pmod 3 elde edilir. nn çift ise f(n)≡1(mod3)f(n) \equiv 1 \pmod 3, nn tek ise f(n)≡−1≡2(mod3)f(n) \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3 olur. Çıktıların kalanları hiçbir zaman 0 olamayacağından, görüntü kümesinde 3'e tam bölünen hiçbir sayı bulunmaz, üçüncü öncül yanlıştır.
Görüntü kümesindeki elemanların bölünebilme özelliklerini incelemek için modüler aritmetik analizi en doğrudan yoldur.

Key Concept

Tam sayılarda tanımlı fonksiyonlarda katsayı ve terim değişimlerine göre bire birlik ile örtenlik durumlarının incelenmesi
Estimated Time:2m 30s
Question 15Question →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi üzerinde tanımlı f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

f(1)+f(2)=5f(3)+f(4)=9f(1)⋅f(3)=6\begin{aligned} &f(1) + f(2) = 5 \\ &f(3) + f(4) = 9 \\ &f(1) \cdot f(3) = 6 \end{aligned}

olduğuna göre, f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Fonksiyonun bire bir ve örten olmasından yola çıkarak f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamının değeri 7 olmalıdır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması, değer kümesindeki her bir elemanın tanım kümesindeki yalnızca bir elemanla eşleşmesini gerektirir. Verilen denklemler çözüldüğünde f(1)=1f(1) = 1, f(2)=4f(2) = 4, f(3)=6f(3) = 6 ve f(4)=3f(4) = 3 değerleri tek bir biçimde elde edilir. Değer kümesinde geriye kalan {2,5}\{2, 5\} elemanları ise f(5)f(5) ve f(6)f(6) ile eşleşmek zorundadır. Bu nedenle, hangi eşleşme yapılırsa yapılsın bu iki değerin toplamı her zaman 7 olur.

Step-by-Step Solution

1
f(1)⋅f(3)=6f(1) \cdot f(3) = 6 denklemini sağlayan AA kümesi elemanlarını belirlemek.
Çarpımları 6 olan iki farklı eleman çifti {1,6}\{1, 6\} veya {2,3}\{2, 3\} olabilir.
ff fonksiyonunun değerleri A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden seçilmelidir.
2
Bulunan çarpım alternatiflerini f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5 ve f(3)+f(4)=9f(3) + f(4) = 9 denklemlerinde test ederek çelişki oluşturmayan durumu bulmak.
Eğer f(1)=2f(1) = 2 ve f(3)=3f(3) = 3 seçilirse, f(2)=3f(2) = 3 olur. Ancak ff bire bir olduğundan f(2)≠f(3)f(2) \neq f(3) olmalıdır, bu durum çelişki yarat��r. Benzer şekilde f(1)=3f(1) = 3 ve f(3)=2f(3) = 2 durumu da f(2)=2=f(3)f(2) = 2 = f(3) çelişkisine yol açar. Eğer f(1)=6f(1) = 6 ve f(3)=1f(3) = 1 seçilirse, f(2)=−1f(2) = -1 olur, ancak −1∉A-1 \notin A'dır. Dolayısıyla tek geçerli durum f(1)=1f(1) = 1 ve f(3)=6f(3) = 6 olmasıdır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması, her bir tanım kümesi elemanının değer kümesindeki farklı bir elemanla eşleşmesini gerektirir.
3
Geçerli duruma göre diğer fonksiyon değerlerini ve kalan elemanları hesaplamak.
f(1)=1f(1) = 1 ve f(3)=6f(3) = 6 ise; f(2)=5−1=4f(2) = 5 - 1 = 4 ve f(4)=9−6=3f(4) = 9 - 6 = 3 olur. Eşleşen değerler kümesi {1,3,4,6}\{1, 3, 4, 6\} olarak bulunur. ff fonksiyonu örten olduğundan, tanım kümesindeki 55 ve 66 elemanları, değer kümesindeki henüz eşleşmemiş olan {2,5}\{2, 5\} elemanları ile eşleşmelidir. Bu durumda {f(5),f(6)}={2,5}\{f(5), f(6)\} = \{2, 5\} olur ve toplamları 2+5=72 + 5 = 7 olarak bulunur.
Örtenlik tanımı gereği değer kümesindeki her elemanın en az bir kez eşleşmesi gerekir.

Key Concept

Sonlu kümelerde tanımlı bire bir ve örten fonksiyonların özellikleri ve değer eşlemesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 16Question →
Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesinde tanımlı
f:[3,∞)→[a,∞)f: [3, \infty) \rightarrow [a, \infty)
f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
f(5)=12f(5) = 12

olduğuna göre, aa kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Doğru cevap 4 değeridir.
Fonksiyonun tanım kümesi [3, \infty) olup, bu aralıkta f(x) = x^2 - 4x + 7 fonksiyonu sürekli artandır. Bu nedenle en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Fonksiyonun örten olması için değer kümesinin alt sınırı olan a sayısı, bu en küçük değer olan f(3) = 4 değerine eşit olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen f(5) = 12 eşitliğini kullanarak k sabitini bulalım.
k = 7
f(5) = 5^2 - 4(5) + k = 12 denkleminden 25 - 20 + k = 12 ve buradan k = 7 elde edilir. Dolayısıyla f(x) = x^2 - 4x + 7 olur.
2
Fonksiyonun bire birliğini tepe noktası yardımıyla inceleyelim.
Fonksiyon [3, \infty) aralığında artandır ve bire birdir.
f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasının apsisi r = 2'dir. Parabol [2, \infty) aralığında artan olduğundan, bu aralığın alt kümesi olan [3, \infty) aralüğında da artandır ve dolayısıyla bire birdir.
3
Fonksiyonun örtenliğini kullanarak a değerini belirleyelim.
a = 4
f(x) artan bir fonksiyon olduğundan [3, \infty) aralığındaki en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Örtenlik gereği değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır. Bu yüzden görüntü kümesinin en küçük elemanı olan f(3) değeri, değer kümesinin alt sınırı olan a sayısına eşit olmalıdır. Buradan a = f(3) = 3^2 - 4(3) + 7 = 4 bulunur.

Key Concept

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Estimated Time:1m 30s
Question 17Question →

Tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tanımlı olduğu aralıklarda bire bir ve örtendir?

Show answer & explanation

Answer: k:R∖{0}→R∖{0}k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}, k(x)=2xk(x) = \frac{2}{x}

Answer

k:R∖{0}→R∖{0}k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}, k(x)=2xk(x) = \frac{2}{x} fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Sıfırdan farklı gerçel sayılardan sıfırdan farklı gerçel sayılara tanımlı x↦2xx \mapsto \frac{2}{x} fonksiyonunda, her xx değeri için benzersiz bir görüntü oluşur (bire birlik) ve sıfır dışındaki tüm gerçel sayılar bir girdinin görüntüsü olarak elde edilebilir (örtenlik).

Step-by-Step Solution

1
Bire birlik tanımını her seçenek için kontrol etme
Tanım kümesindeki farklı her elemanın görüntüsünün de farklı olması gerekir. k(x)=2xk(x) = \frac{2}{x} için k(x1)=k(x2)  ⟹  2x1=2x2  ⟹  x1=x2k(x_1) = k(x_2) \implies \frac{2}{x_1} = \frac{2}{x_2} \implies x_1 = x_2 olduğundan bire birdir.
Bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını belirlemek için farklı girdilerin farklı çıktılar verdiğini doğrulamalıyız.
2
Örtenlik tanımını her seçenek için kontrol etme
Değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır. k(x)=2xk(x) = \frac{2}{x} fonksiyonunda değer kümesinden seçilen her y≠0y \neq 0 için tanım kümesinde x=2y≠0x = \frac{2}{y} \neq 0 elemanı mevcuttur ve k(x)=yk(x) = y olur. Dolayısıyla örtendir.
Örtenliği kontrol etmek için değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olduğunu göstermeliyiz.

Key Concept

Bire bir fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşirken, örten fonksiyonlarda değer kümesinde eşleşmeyen eleman kalmaz.