Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir sanat atölyesinde eğitim alan kursiyerlerin tamamının kümesi evrensel küme EE'dir. Bu atölyede resim eğitimi alanların kümesi RR, heykel eğitimi alanların kümesi HH'dir.

Bu atölyedeki kursiyerlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Resim eğitimi alıp heykel eğitimi almayan kursiyerlerin sayısı, heykel eğitimi alıp resim eğitimi almayan kursiyerlerin sayısının 2 katıdır.
* Heykel eğitimi almayan kursiyerlerin sayısı 24'tür.
* Bu iki eğitimin en az birini alan 33 kursiyer vardır.
* Sanat atölyesinde eğitim alan toplam kursiyer sayısı 45'tir.

Buna göre, bu atölyede resim eğitimi almayan veya heykel eğitimi almayan toplam kursiyer sayısı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 30Answer
  4. D
    33
  5. E
    42

Answer

Resim eğitimi almayan veya heykel eğitimi almayan toplam kursiyer sayısı 30'dur.
Resim eğitimi almayan veya heykel eğitimi almayan kursiyerlerin oluşturduğu küme R′∪H′R' \cup H' ifadesine karşılık gelir. De Morgan kuralları gereğince bu küme (R∩H)′(R \cap H)' kümesine eşittir. Evrensel kümedeki eleman sayısından, her iki eğitimi birden alan kursiyerlerin sayısı çıkarıldığında s(E)−s(R∩H)=45−15=30s(E) - s(R \cap H) = 45 - 15 = 30 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Soru metninde verilen sözel ifadeleri küme sembolleriyle yazalım.
Kursiyerlerin tamamı evrensel küme EE olup s(E)=45s(E) = 45'tir. Resim eğitimi alanlar RR, heykel eğitimi alanlar HH'dir. Verilenler: s(R∖H)=2⋅s(H∖R)s(R \setminus H) = 2 \cdot s(H \setminus R), s(H′)=24s(H') = 24 ve s(R∪H)=33s(R \cup H) = 33 olarak belirlenir.
Problemdeki sözel bilgileri küme işlemlerine aktarmak çözümü kolaylaştırır.
2
Hiçbir eğitim almayan kursiyerlerin sayısını bulalım.
s(E)=s(R∪H)+s((R∪H)′)  ⟹  45=33+s((R∪H)′)  ⟹  s((R∪H)′)=12s(E) = s(R \cup H) + s((R \cup H)') \implies 45 = 33 + s((R \cup H)') \implies s((R \cup H)') = 12 bulunur.
Bir küme ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
3
Sadece resim alanların (R∖HR \setminus H) ve sadece heykel alanların (H∖RH \setminus R) eleman sayılarını bulalım.
s(H′)=s(R∖H)+s((R∪H)′)  ⟹  24=s(R∖H)+12  ⟹  s(R∖H)=12s(H') = s(R \setminus H) + s((R \cup H)') \implies 24 = s(R \setminus H) + 12 \implies s(R \setminus H) = 12 olur. s(R∖H)=2⋅s(H∖R)  ⟹  12=2⋅s(H∖R)  ⟹  s(H∖R)=6s(R \setminus H) = 2 \cdot s(H \setminus R) \implies 12 = 2 \cdot s(H \setminus R) \implies s(H \setminus R) = 6 bulunur.
Heykel eğitimi almayanlar (H′H'), resim alıp heykel almayanlar ile her iki eğitimi de almayanlardan oluşur.
4
Her iki eğitimi birden alan kursiyerlerin sayısını bulalım.
s(R∪H)=s(R∖H)+s(H∖R)+s(R∩H)  ⟹  33=12+6+s(R∩H)  ⟹  s(R∩H)=15s(R \cup H) = s(R \setminus H) + s(H \setminus R) + s(R \cap H) \implies 33 = 12 + 6 + s(R \cap H) \implies s(R \cap H) = 15 elde edilir.
Birleşim kümesi; sadece resim alanlar, sadece heykel alanlar ve her ikisini birden alanlar olmak üzere ayrık üç bölgenin toplamıdır.
5
Resim almayan veya heykel almayanların (R′∪H′R' \cup H') sayısını hesaplayalım.
De Morgan kuralları gereği R′∪H′=(R∩H)′R' \cup H' = (R \cap H)' olur. Buradan s(R′∪H′)=s(E)−s(R∩H)=45−15=30s(R' \cup H') = s(E) - s(R \cap H) = 45 - 15 = 30 bulunur.
Resim veya heykel eğitimi almayanlar kümesi, her iki eğitimi birden alanların dışındaki tüm kursiyerleri temsil eder.

Key Concept

De Morgan Kuralları ve Tümleyen Özellikleri
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic