Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Problemleri

Bir grup arkadaş, ortak alacakları bir doğum günü hediyesinin ücretini eşit olarak paylaşmaya karar vermiştir. Ancak hediyeyi almaya giderken gruptaki 33 kişinin yanında para olmadığı için, para ödeyenlerin her biri başlangıçta planlanana göre 20 TL20\text{ TL} fazla ödeme yapmıştır.

Eğer yanında para olmayan kişi sayısı 33 değil de 55 olsaydı, para ödeyenlerin her biri başlangıçta planlanana göre 40 TL40\text{ TL} fazla ödeme yapacaktı.

Buna göre, bu gruptaki toplam kişi sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 15Answer
  4. D
    18
  5. E
    20

Answer

Gruptaki toplam kişi sayısı 15'tir.
Gruptaki kişi sayısı xx ve hediyenin toplam bedeli GG olsun. İlk durumda kişi başı düşen pay Gx\frac{G}{x} olur. 3 kişinin yanında para olmaması durumunda kalan x−3x-3 kişi Gx−3\frac{G}{x-3} öder ve aradaki fark 20 TL'dir. Buradan 3G=20x(x−3)3G = 20x(x-3) elde edilir. Benzer şekilde, 5 kişinin ödememesi durumunda kalan x−5x-5 kişi Gx−5\frac{G}{x-5} öder ve fark 40 TL'dir. Buradan G=8x(x−5)G = 8x(x-5) elde edilir. Bu iki denklem birleştirildiğinde x=15x = 15 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 15'tir.

Step-by-Step Solution

1
Gruptaki toplam kişi sayısını xx ve hediyenin toplam fiyatını GG olarak belirleyip ilk durumdaki kişi başı düşen payı yazın.
İlk durumda kişi başı düşen pay Gx\frac{G}{x} TL'dir.
Toplam maliyetin gruptaki tüm kişilere eşit olarak bölünmesi gerekir.
2
3 kişinin ödeme yapmadığı durum için denklemi kurun ve GG ile xx arasındaki ilk ilişkiyi elde edin.
x−3x-3 kişi ödeme yapmıştır. Gx−3−Gx=20  ⟹  3Gx(x−3)=20  ⟹  3G=20x(x−3)\frac{G}{x-3} - \frac{G}{x} = 20 \implies \frac{3G}{x(x-3)} = 20 \implies 3G = 20x(x-3) olur.
Kişi başı ödemedeki artış miktarı 20 TL olarak verilmiştir.
3
5 kişinin ödeme yapmadığı durum için ikinci denklemi kurun ve GG ile xx arasındaki ikinci ilişkiyi elde edin.
x−5x-5 kişi ödeme yapmıştır. Gx−5−Gx=40  ⟹  5Gx(x−5)=40  ⟹  G=8x(x−5)\frac{G}{x-5} - \frac{G}{x} = 40 \implies \frac{5G}{x(x-5)} = 40 \implies G = 8x(x-5) olur.
Kişi başı ödemedeki artış miktarı bu durumda 40 TL olmaktadır.
4
Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek xx değerini çözün.
3G ifadesinde G yerine ikinci denklemdeki değeri yazarsak: 3⋅(8x(x−5))=20x(x−3)  ⟹  24x(x−5)=20x(x−3)  ⟹  6(x−5)=5(x−3)  ⟹  6x−30=5x−15  ⟹  x=153 \cdot (8x(x-5)) = 20x(x-3) \implies 24x(x-5) = 20x(x-3) \implies 6(x-5) = 5(x-3) \implies 6x - 30 = 5x - 15 \implies x = 15 bulunur.
Her iki durumda da hediyenin toplam fiyatı (GG) aynıdır.

Key Concept

Sayı Problemleri

Alternative Method

Oran-orantı mantığıyla da çözülebilir. Gruptaki kişi sayısı x olsun. 3 kişi ödemediğinde kalan x-3 kişinin her biri 20 TL fazla ödüyorsa, ödenmeyen toplam miktar 20(x-3) TL'dir. Bu miktar, ödeme yapmayan 3 kişinin başlangıçtaki payına eşittir. Buradan başlangıçtaki kişi başı düşen pay 20(x-3)/3 TL olur. Benzer şekilde 5 kişi ödemediğinde başlangıçtaki kişi başı düşen pay 40(x-5)/5 = 8(x-5) TL olur. Başlangıçtaki paylar eşit olduğundan, 20(x-3)/3 = 8(x-5) eşitliğinden x = 15 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic