Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir metro hattında çalışan trenler, bu trenlerin vagon sayıları ve vagonların yolcu kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bu hatta sadece 4 vagonlu ve 6 vagonlu olmak üzere toplam 30 adet tren hizmet vermektedir.
* 4 vagonlu trenlerin her bir vagonunun yolcu kapasitesi eşit ve xx kişidir.
* 6 vagonlu trenlerin her bir vagonunun yolcu kapasitesi eşit ve yy kişidir.
* Bu hatta çalışan 4 vagonlu tren sayısı, 6 vagonlu tren sayısının 2 katıdır.

Tüm trenler tam kapasiteyle doluyken bu metro hattında aynı anda toplam 2200 yolcu taşınabilmektedir.

4 vagonlu trenlerin her birinden birer vagon sökülüp bu vagonlar 6 vagonlu trenlerin her birine ikişer vagon olacak şekilde eklendiğinde; 4 vagonlu trenler 3 vagonlu, 6 vagonlu trenler ise 8 vagonlu hâle gelmektedir.

Son durumda vagon kapasiteleri değişmeden tüm trenler yine tam kapasiteyle doldurulduğunda ta��ınabilen toplam yolcu sayısı 2000 olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta bu metro hattında hizmet veren trenlerin toplam vagon sayısı kaçtır?

  1. A
    120
  2. B
    130
  3. 140Answer
  4. D
    150
  5. E
    160

Answer

Başlangıçtaki trenlerin toplam vagon sayısı 140'tır.
Başlangıçtaki tren sayıları oranına göre 20 adet 4 vagonlu ve 10 adet 6 vagonlu tren olduğu belirlenir. Vagon transferi sonrası oluşan yeni vagon sayıları ile kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde vagon kapasiteleri sırasıyla 20 ve 10 olarak bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam vagon sayısı 140 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tren sayılarının belirlenmesi ve değişkenlerin tanımlanması
6 vagonlu tren sayısı nn ise 4 vagonlu tren sayısı 2n2n olur. Toplam tren sayısı 3n=303n = 30 olduğundan n=10n = 10 bulunur. Buradan hatta 20 adet 4 vagonlu tren ve 10 adet 6 vagonlu tren olduğu tespit edilir.
Soruda verilen oran ve toplam tren sayısından hareketle her iki tren türünün miktarını bulmak gerekir.
2
Yolcu kapasitesi denklemlerinin kurulması
İlk durum için toplam kapasite denklemi: 20⋅4x+10⋅6y=2200  ⟹  80x+60y=2200  ⟹  8x+6y=22020 \cdot 4x + 10 \cdot 6y = 2200 \implies 80x + 60y = 2200 \implies 8x + 6y = 220'dir.

İkinci durumda 4 vagonlu 20 trenin her birinden 1 vagon sökülür (trenler 3 vagonlu olur) ve toplam 20⋅1=2020 \cdot 1 = 20 vagon elde edilir. Bu vagonlar 10 adet 6 vagonlu trene ikişer adet eklenerek trenler 8 vagonlu hâle getirilir. İkinci durum kapasite denklemi: 20⋅3x+10⋅8y=2000  ⟹  60x+80y=2000  ⟹  6x+8y=20020 \cdot 3x + 10 \cdot 8y = 2000 \implies 60x + 80y = 2000 \implies 6x + 8y = 200 olur.
Wagon transferi öncesi ve sonrası durumları matematiksel denklemlere dökmek için bu adım uygulanır.
3
Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi
4x+3y=1104x + 3y = 110
3x+4y=1003x + 4y = 100

İlk denklem 4 ile, ikinci denklem 3 ile çarpılıp taraf tarafa çıkarılırsa:
16x+12y=44016x + 12y = 440
9x+12y=3009x + 12y = 300
7x=140  ⟹  x=207x = 140 \implies x = 20 bulunur.

x=20x = 20 değeri yerine yazıldığında:
3(20)+4y=100  ⟹  4y=40  ⟹  y=103(20) + 4y = 100 \implies 4y = 40 \implies y = 10 elde edilir.
Bilinmeyen vagon kapasitesi değerlerini bulmak için denklem sistemi çözülür.
4
Başlangıçtaki toplam vagon sayısının hesaplanması
Başlangıçta 20 adet 4 vagonlu tren (20⋅4=8020 \cdot 4 = 80 vagon) ve 10 adet 6 vagonlu tren (10⋅6=6010 \cdot 6 = 60 vagon) vardır. Toplam vagon sayısı: 80+60=14080 + 60 = 140 olarak hesaplanır.
Soruda istenen başlangıçtaki toplam vagon sayısını hesaplamak için tren sayıları ile başlangıçtaki vagon sayıları çarpılarak toplanır.

Key Concept

Sayı Problemleri
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic