Examkin

Question

Difficulty: HardBileşke Fonksiyon
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tan��mlı ff ve gg fonksiyonları için
(f∘g)(x)=3g(x)+4(f \circ g)(x) = 3g(x) + 4
(g∘f)(x)=(f(x))2−2f(x)−5(g \circ f)(x) = (f(x))^2 - 2f(x) - 5

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, (g∘f)(1)(g \circ f)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Answer: 30

Answer

30
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) ifadesini çözmek için önce f(1)f(1) değeri bulunur. f(g(x))=3g(x)+4f(g(x)) = 3g(x) + 4 eşitliğinden f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 (uu değeri gg'nin görüntü kümesinde olmak üzere) elde edilir. g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 kuralının görüntü kümesi [−6,∞)[-6, \infty) olduğundan ve 11 bu kümede bulunduğundan f(1)=3(1)+4=7f(1) = 3(1) + 4 = 7 olur. Benzer şekilde, ff'nin görüntü kümesi [−14,∞)[-14, \infty) aralığıdır ve 77 bu aralıkta olduğu için g(7)=72−2(7)−5=30g(7) = 7^2 - 2(7) - 5 = 30 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
(f∘g)(x)=3g(x)+4(f \circ g)(x) = 3g(x) + 4 eşitliğini analiz etmek.
g(x)=ug(x) = u dönüşümüyle, gg fonksiyonunun görüntü kümesindeki her uu için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 elde edilir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre dıştaki fonksiyon, içteki fonksiyonun değerleri üzerinde tanımlanır.
2
(g∘f)(x)=(f(x))2−2f(x)−5(g \circ f)(x) = (f(x))^2 - 2f(x) - 5 eşitli��ini analiz etmek.
f(x)=vf(x) = v dönüşümüyle, ff fonksiyonunun görüntü kümesindeki her vv için g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 elde edilir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre gg fonksiyonunun kuralını ff'in görüntü kümesi üzerinde belirlemek gerekir.
3
gg fonksiyonunun görüntü kümesini bulmak.
g(v)=(v−1)2−6g(v) = (v-1)^2 - 6 biçiminde yazılabileceğinden, gg'nin en küçük değeri −6-6'dır. Görüntü kümesi [−6,∞)[-6, \infty) olur.
f(1)f(1) değerini hesaplayabilmek için 11 sayısının gg'nin görüntü kümesinde olup olmadığını doğrulamamız gerekir.
4
f(1)f(1) değerini hesaplamak.
1∈[−6,∞)1 \in [-6, \infty) olduğundan f(1)=3(1)+4=7f(1) = 3(1) + 4 = 7 bulunur.
11 değeri gg'nin görüntü kümesinde yer aldığı için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 kuralı geçerlidir.
5
(g∘f)(1)=g(f(1))=g(7)(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(7) değerini hesaplamak.
u≥−6u \ge -6 için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 kuralı uygulandığında ff'nin görüntü kümesi [−14,∞)[-14, \infty) olur. 7≥−147 \ge -14 olduğundan g(7)=72−2(7)−5=30g(7) = 7^2 - 2(7) - 5 = 30 elde edilir.
77 değeri ff'nin görüntü kümesinde yer aldığı için g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 kuralı geçerlidir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda tanım ve görüntü kümelerinin analizi ile zincirleme değer bulma.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyon

More questions from this topic