Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Dik koordinat düzleminde verilen
(a−3)x+4y=a+1 (a - 3)x + 4y = a + 1
9x+(a+2)y=b−2 9x + (a + 2)y = b - 2
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    96
  2. B
    -42
  3. 98Answer
  4. D
    140
  5. E
    158

Answer

Çarpımın alabileceği farklı değerlerin toplamı 98'dir.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması, katsayıların ve sabitlerin oranlarının eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlikten elde edilen a2−a−42=0a^2 - a - 42 = 0 denkleminin kökleri a=7a = 7 ve a=−6a = -6 olarak bulunur. Her iki durum için elde edilen oranlar sırasıyla eşitlendiğinde b=20b = 20 ve b=7b = 7 değerleri hesaplanır. Dolayısıyla a⋅ba \cdot b ifadesinin alabileceği farklı değerler 140140 ve −42-42 olup, bunların toplamı 9898 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması için, değişkenlerin katsayıları ve sabit terimlerinin oranlarının eşit olması gerektiğini belirleme.
a−39=4a+2=a+1b−2\frac{a-3}{9} = \frac{4}{a+2} = \frac{a+1}{b-2} eşitliği elde edilir.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin sonsuz çözüme sahip olması, bu denklemlerin koordinat düzleminde çakışık doğrular belirtmesi anlamına gelir.
2
Katsayılar oranındaki ilk iki terimin eşitliğini kullanarak aa parametresinin alabileceği değerleri bulmak için ikinci dereceden bir denklem kurma ve çözme.
(a−3)(a+2)=36  ⟹  a2−a−6=36  ⟹  a2−a−42=0(a-3)(a+2) = 36 \implies a^2 - a - 6 = 36 \implies a^2 - a - 42 = 0 Bu denklem çarpanlarına ayrılırsa: (a−7)(a+6)=0  ⟹  a=7 veya a=−6(a-7)(a+6) = 0 \implies a = 7 \text{ veya } a = -6 bulunur.
aa parametresini belirlemek amacıyla ilk iki oranın eşitliği üzerinden içler dışlar çarpımı yapılır.
3
a=7a = 7 değeri için sistemin sonsuz çözümlü olmasını sağlayan bb değerini hesaplama ve bu duruma ait a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
7−39=49=7+1b−2  ⟹  49=8b−2  ⟹  b−2=18  ⟹  b=20\frac{7-3}{9} = \frac{4}{9} = \frac{7+1}{b-2} \implies \frac{4}{9} = \frac{8}{b-2} \implies b - 2 = 18 \implies b = 20 bulunur. Buradan, a⋅b=7⋅20=140a \cdot b = 7 \cdot 20 = 140 elde edilir.
a=7a = 7 değeri için oranların eşitliğini sağlamak üzere bb bilinmeyeni çözülür.
4
a=−6a = -6 değeri için sistemin sonsuz çözümlü olmasını sağlayan bb değerini hesaplama ve bu duruma ait a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
−6−39=−99=−1=−6+1b−2  ⟹  −1=−5b−2  ⟹  b−2=5  ⟹  b=7\frac{-6-3}{9} = \frac{-9}{9} = -1 = \frac{-6+1}{b-2} \implies -1 = \frac{-5}{b-2} \implies b - 2 = 5 \implies b = 7 bulunur. Buradan, a⋅b=−6⋅7=−42a \cdot b = -6 \cdot 7 = -42 elde edilir.
a=−6a = -6 değeri için oranların eşitliğini sağlamak üzere bb bilinmeyeni çözülür.
5
Elde edilen farklı a⋅ba \cdot b değerlerinin toplamını hesaplama.
140+(−42)=98140 + (-42) = 98 bulunur.
Soruda bizden istenen farklı a⋅ba \cdot b çarpımlarının toplamıdır.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin sonsuz çözüme sahip olma koşulu
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

More questions from this topic