Examkin

Question

Difficulty: HardPolinom Tanımı ve Temel Özellikleri
P(x)=(n−3)xn2+7n−2+(n+2)x18n+3−n2x+5P(x) = (n-3)x^{\frac{n^2+7}{n-2}} + (n+2)x^{\frac{18}{n+3}} - n^2 x + 5

ifadesi bir gerçek katsayılı polinom belirtmektedir.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

  1. 1Answer
  2. B
    -4
  3. C
    7
  4. D
    19
  5. E
    -139

Answer

Polinomun katsayılar toplamı 1'dir.
Verilen ifadenin bir polinom belirtmesi için n=3n = 3 olmalıdır. Bu durumda polinom P(x)=5x3−9x+5P(x) = 5x^3 - 9x + 5 şeklini alır ve katsayılar toplamı P(1)=5−9+5=1P(1) = 5 - 9 + 5 = 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Polinom tanımı gereği, değişkenin tüm kuvvetlerinin birer doğal sayı olması veya ilgili terimin katsayısının sıfır olması gerektiğini belirleme.
İlk terimin üssü olan n2+7n−2\frac{n^2+7}{n-2} ifadesi ile ikinci terimin üssü olan 18n+3\frac{18}{n+3} ifadesinin birer doğal sayı olması gerekir. Eğer bu şart sağlanmıyorsa, o terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
Polinom tanımında değişkenin üsleri doğal sayı olmak zorundadır.
2
İlk terimin üssü olan n2+7n−2\frac{n^2+7}{n-2} ifadesini polinom bölmesi veya cebirsel düzenleme ile inceleme.
n2+7n−2=(n2−4)+11n−2=n+2+11n−2\frac{n^2+7}{n-2} = \frac{(n^2-4) + 11}{n-2} = n + 2 + \frac{11}{n-2} elde edilir. nn tam sayısı için bu ifadenin bir tam sayı belirtmesi amacıyla n−2n-2 ifadesi 11'in böleni olmal��dır. 11'in bölenleri {±1,±11}\{\pm 1, \pm 11\} olduğundan n∈{3,1,13,−9}n \in \{3, 1, 13, -9\} değerleri bulunur.
Rasyonel ifadenin tam sayı değerler alabilmesi için paydanın payı tam bölmesi gerekir.
3
Bulunan nn adaylarının üslerinin doğal sayı olma ve katsayıların sıfır olma durumlarını kontrol etme.
- n=3n = 3 için: İlk terimin katsayısı n−3=0n-3 = 0 olur ve terim sıfırlanarak yok olur. İkinci terimin üssü 183+3=3\frac{18}{3+3} = 3 (doğal sayı) ve katsayısı 3+2=5≠03+2 = 5 \neq 0 olur. Bu durumda ifade bir polinomdur.
- n=1n = 1 için: İlk terimin üssü 1+2+11−1=−81 + 2 + \frac{11}{-1} = -8 (doğal sayı değil) ve katsayısı 1−3=−2≠01-3 = -2 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
- n=13n = 13 için: İlk terimin üssü 13+2+1=1613 + 2 + 1 = 16 (doğal sayı) olur ancak ikinci terimin üssü 1816=98\frac{18}{16} = \frac{9}{8} (doğal sayı değil) ve katsayısı 13+2=15≠013+2 = 15 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
- n=−9n = -9 için: İlk terimin üssü −9+2−1=−8-9 + 2 - 1 = -8 (doğal sayı değil) ve katsayısı −9−3=−12≠0-9-3 = -12 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
- İkinci terimin katsayısını sıfır yapan n=−2n = -2 değeri için: İkinci terim sıfırlanır ancak ilk terimin üssü 11−4\frac{11}{-4} tam sayı olmadığından ve katsayısı −2−3=−5≠0-2-3 = -5 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
Her bir adayın hem ilk hem de ikinci terim için polinom olma şartını sağlayıp sağlamadığı test edilir.
4
Sağlayan tek değer olan n=3n = 3 için polinomu yazıp katsayılar toplamını hesaplama.
P(x)=(3−3)x16+(3+2)x3−32x+5=5x3−9x+5P(x) = (3-3)x^{16} + (3+2)x^3 - 3^2 x + 5 = 5x^3 - 9x + 5 olur. Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılır: P(1)=5(1)3−9(1)+5=1P(1) = 5(1)^3 - 9(1) + 5 = 1 bulunur.
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için değişkene 1 değeri verilir.

Key Concept

Polinom olma şartında üslerin doğal sayı olması ve katsayısı sıfır olan terimlerin üs sınırlamalarından muaf olması.
Rate this question

Topics

Polinom Tanımı ve Temel Özellikleri

More questions from this topic