Bir inşaat mühendisi, homojen beton malzemeden yapılmış dik dairesel silindir şeklindeki b… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir inşaat mühendisi, homojen beton malzemeden yapılmış dik dairesel silindir şeklindeki bir taşıyıcı kolonun boyutlarının, kolonun kendi ağırlığına karşı dayanıklılığına etkisini incelemektedir. Mühendis, başlangıçtaki dayanıklılığı $D$ olan kolon üzerinde ayrı ayrı şu üç modifikasyonu yapmayı planlamaktadır:

I. Kolonun yüksekliğini sabit tutup, taban yarıçapını $2$ katına çıkarmak ( $D_1$ )
II. Kolonun taban yarıçapını sabit tutup, yüksekliğini $2$ katına çıkarmak ( $D_2$ )
III. Kolonun hem yüksekliğini hem de taban yarıçapını $2$ katına çıkarmak ( $D_3$ )

Buna göre; $D$ , $D_1$ , $D_2$ ve $D_3$ arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A
$D_1 > D > D_2 = D_3$
B
$D_1 = D = D_3 > D_2$
$D_1 = D > D_2 = D_3$ Answer
D
$D_3 > D_1 = D > D_2$
E
$D_1 > D_3 > D > D_2$

Answer

Birinci modifikasyon sonucu dayanıklılık başlangıçtaki ile aynı kalırken, ikinci ve üçüncü modifikasyonlar sonucu yarıya iner (

D_1 = D > D_2 = D_3

Düzgün geometrik şekilli katıların kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılıkları

1/h

oranı ile belirlenir. Yükseklik değişmediğinde dayanıklılık değişmez, yükseklik iki katına çıktığında ise dayanıklılık yarıya düşer. Bu doğrultuda birinci modifikasyonda yükseklik değişmediğinden dayanıklılık başlangıçtaki ile aynı kalır (

D_1 = D

). İkinci ve üçüncü modifikasyonlarda ise yükseklik iki katına çıktığından dayanıklılık yarıya iner (

D_2 = D_3 = D/2

). Dolayısıyla doğru sıralama bu eşitlikleri içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

Başlangıçtaki silindir şeklindeki kolonun kendi ağırlığına karşı dayanıklılığını veren ifadeyi belirleme.

Katı cisimlerin kendi ağırlığına karşı dayanıklılığı

D \propto \frac{\text{Kesit Alanı}}{\text{Hacim}}

bağıntısıyla bulunur. Dik dairesel silindir için bu oran:

D = \frac{\pi R^2}{\pi R^2 \cdot H} = \frac{1}{H}

olur. Yani düzgün geometrik cisimlerde dayanıklılık yüksekliğin tersiyle orantılıdır.

Değişikliklerin etkisini analiz edebilmek için referans bir matematiksel model kurmak gerekir.

Birinci modifikasyondaki dayanıklılığı (

D_1

) hesaplama.

Y��kseklik

H

olarak sabit kalıp taban yarıçapı

2R

yapıldığında, kesit alanı

4

katına (

4\pi R^2

) çıkarken hacim de

4

katına (

4\pi R^2 H

) çıkar. Buradan dayanıklılık:

D_1 = \frac{4\pi R^2}{4\pi R^2 H} = \frac{1}{H} = D

olur. Yarıçapın değişmesi kendi ağırlığına karşı dayanıklılığı etkilemez.

Yalnızca enine büyümenin dayanıklılık üzerindeki etkisini izole etmek.

İkinci modifikasyondaki dayanıklılığı (

D_2

) hesaplama.

Taban yarıçapı

R

olarak sabit kalıp yüksekliği

2H

yapıldığında, kesit alanı değişmezken hacim

2

katına çıkar. Buradan dayanıklılık:

D_2 = \frac{\pi R^2}{2\pi R^2 H} = \frac{1}{2H} = \frac{D}{2}

olur.

Yalnızca boyuna büyümenin dayanıklılık üzerindeki etkisini izole etmek.

Üçüncü modifikasyondaki dayanıklılığı (

D_3

) hesaplama.

Hem taban yarıçapı

2R

hem de yükseklik

2H

yapıldığında (cisim orantılı olarak ölçeklendirildiğinde), kesit alanı

4

katına (

4\pi R^2

) çıkarken hacim

8

katına (

8\pi R^2 H

) çıkar (Galileo'nun Kare-Küp Kanunu). Buradan dayanıklılık:

D_3 = \frac{4\pi R^2}{8\pi R^2 H} = \frac{1}{2H} = \frac{D}{2}

olur.

Orantılı üç boyutlu büyümenin (ölçeklenmenin) dayanıklılığa etkisini belirlemek.

Tüm durumlar arasındaki ilişkiyi sıralama.

D_1 = D

D_2 = D_3 = \frac{D}{2}

olduğundan, sıralama

D_1 = D > D_2 = D_3

olur.

Bulunan bağıntıları birleştirerek doğru seçeneği belirlemek.

Key Concept

Düzgün dik katıların (silindir, küp vb.) kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılığı yalnızca yüksekliklerine bağlıdır ve yükseklikle ters orantılıdır (

D \propto 1/h

). Boyutlar orantılı olarak büyütüldüğünde hacim (ağırlık) kesit alanından daha hızlı arttığı için dayanıklılık azalır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic