Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Problemleri

Bir mağazanın sadakat programında müşteriler, biriktirdikleri alışveriş puanlarını A, B ve C türündeki hediye çeklerine dönüştürebilmektedir. Bu hediye çeklerinin her birinin puan değeri ve bu çeklerin alımıyla ilgili kurallar aşağıda verilmiştir:

- A, B ve C türü hediye çeklerinin birer adedinin puan değerleri sırasıyla 120120, 180180 ve 300300 puandır.
- Bir müşteri bu puan dönüştürme işleminde toplam 72007200 puan harcamış ve her bir hediye çekinden en az birer tane almıştır.
- Müşterinin aldığı B türü hediye çeklerinin sayısı, C türü hediye çeklerinin sayısının 22 katından fazladır.
- Alınan A türü hediye çeklerinin sayısı ise B türü hediye çeklerinin sayısının en az yarısı kadardır.

Buna göre, bu müşterinin aldığı toplam hediye çeklerinin sayısı en fazla kaç olabilir?

  1. A
    54
  2. B
    55
  3. 57Answer
  4. D
    58
  5. E
    59

Answer

En fazla 57 hediye çeki alınabilir.
Toplam çek sayısını veren S=60−b+3c2S = 60 - \frac{b + 3c}{2} ifadesinde SS değerinin en büyük olması için b+3cb + 3c toplamı en küçük seçilmelidir. 2a+3b+5c=1202a + 3b + 5c = 120 eşitliğine göre bb ve cc aynı paritede olmalıdır. c≥1c \ge 1 ve b>2cb > 2c şartları altında en küçük değerler c=1c=1 ve b=3b=3 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında a=53a=53 bulunur ve tüm kısıtlar sağlanır. Buradan toplam çek sayısı en fazla 57 olur.

Step-by-Step Solution

1
Harcanan toplam puanı veren denklemi kurup sadeleştirelim.
Alınan A, B ve C türü çek sayıları sırasıyla aa, bb ve cc olsun. 120a+180b+300c=7200120a + 180b + 300c = 7200 denklemini 6060 ile böldüğümüzde 2a+3b+5c=1202a + 3b + 5c = 120 elde edilir.
Problemi daha küçük katsayılı tam sayılarla kolayca analiz edebilmek için sadeleştirme yapılır.
2
Toplam çek sayısı olan S=a+b+cS = a + b + c ifadesini diğer değişkenler cinsinden yazalım.
2a=120−3b−5c2a = 120 - 3b - 5c eşitliğini kullanarak, 2S=2a+2b+2c=(120−3b−5c)+2b+2c=120−b−3c2S = 2a + 2b + 2c = (120 - 3b - 5c) + 2b + 2c = 120 - b - 3c elde ederiz. Buradan S=60−b+3c2S = 60 - \frac{b + 3c}{2} bulunur.
Toplam çek sayısını maksimize etmek için hangi ifadenin minimize edilmesi gerektiğini belirlemek.
3
Değişkenlerin teklik-çiftlik ve sınır koşullarını belirleyelim.
2a2a ve 120120 çift sayı olduğundan, 3b+5c3b + 5c toplamı da çift olmalıdır. Bu durum bb ve cc sayılarının aynı paritede (her ikisi de tek veya her ikisi de çift) olmasını gerektirir. Her çekten en az bir adet alındığı için c≥1c \ge 1 olmalıdır. Ayrıca b>2c  ⟹  b≥2c+1b > 2c \implies b \ge 2c + 1 koşulu vardır.
Tam sayı çözümlerini daraltmak ve hedeflenen minimum değerleri bulmak.
4
b+3cb + 3c ifadesini en küçük yapacak değerleri seçelim.
c=1c = 1 (tek sayı) alırsak, bb de tek sayı olmalıdır. b>2(1)  ⟹  b≥3b > 2(1) \implies b \ge 3 olur. En küçük tek sayı b=3b = 3 seçilir. Bu durumda b+3c=3+3=6b + 3c = 3 + 3 = 6 olur. 2a+3(3)+5(1)=120  ⟹  2a=106  ⟹  a=532a + 3(3) + 5(1) = 120 \implies 2a = 106 \implies a = 53 bulunur. a≥b/2  ⟹  53≥1.5a \ge b/2 \implies 53 \ge 1.5 koşulu da sağlanır. Toplam çek sayısı en fazla 53+3+1=5753 + 3 + 1 = 57 olur.
S'yi en büyük yapmak için b+3cb+3c toplamını minimum yapan en küçük pozitif tam sayı değerleri atanır.

Key Concept

Tam sayı kısıtlı doğrusal denklem ve eşitsizlik sistemlerinde en büyük değerin bulunması (Diofant denklemleri ve optimizasyon).
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic