Examkin

Question

Difficulty: HardBileşke Fonksiyon

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları

f(x)={2x+4,x<1x2−3,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 4, & x < 1 \\ x^2 - 3, & x \ge 1 \end{cases}
g(x)={3x−1,x<22x−a,x≥2g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 2 \\ 2x - a, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

(f∘g)(3)=(g∘f)(0)(f \circ g)(3) = (g \circ f)(0)

eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısının tam sayı değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    7
  3. 8Answer
  4. D
    10
  5. E
    12

Answer

8
Verilen eşitlikte (g∘f)(0)(g \circ f)(0) ifadesinin değeri 8−a8-a ve (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri, a>5a > 5 kabulü altında 16−2a16-2a olarak bulunur. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde a=8a = 8 tam sayı değeri elde edilir ve bu değer başlangıçtaki aralık koşulunu sağlar.

Step-by-Step Solution

1
(g∘f)(0)(g \circ f)(0) ifadesinin değerini bulmak için öncelikle f(0)f(0) değerini hesaplayalım.
f(0)=2(0)+4=4f(0) = 2(0) + 4 = 4
0<10 < 1 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonunun üstteki dalı kullanılır.
2
Bulduğumuz f(0)=4f(0) = 4 değerini gg fonksiyonunda yerine yazarak g(4)g(4) değerini elde edelim.
g(4)=2(4)−a=8−ag(4) = 2(4) - a = 8 - a
4≥24 \ge 2 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonunun alttaki dalı kullanılır.
3
(f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değerini bulmak için öncelikle g(3)g(3) değerini hesaplayalım.
g(3)=2(3)−a=6−ag(3) = 2(3) - a = 6 - a
3≥23 \ge 2 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonunun alttaki dalı kullanılır.
4
Bulduğumuz g(3)=6−ag(3) = 6 - a değerini ff fonksiyonunda yerine yazarak f(6−a)f(6 - a) değerini elde edelim ve (f∘g)(3)=(g∘f)(0)(f \circ g)(3) = (g \circ f)(0) eşitliğini kuralım.
f(6−a)=8−af(6 - a) = 8 - a
f(g(3))=g(f(0))f(g(3)) = g(f(0)) eşitliği gereği bu iki ifade birbirine eşitlenmelidir.
5
aa sayısının bir tam sayı olduğu bilgisiyle 6−a6 - a ifadesinin değer aralığına göre durum analizi yapalım. İlk olarak 6−a<16 - a < 1 (yani a>5a > 5) durumunu inceleyelim.
2(6−a)+4=8−a  ⟹  16−2a=8−a  ⟹  a=82(6 - a) + 4 = 8 - a \implies 16 - 2a = 8 - a \implies a = 8
6−a<16 - a < 1 koşulu altında f(x)f(x) fonksiyonunun üstteki dalı olan 2x+42x + 4 kuralı uygulanır. Bulunan a=8a = 8 değeri a>5a > 5 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
6
İkinci durum olan 6−a≥16 - a \ge 1 (yani a≤5a \le 5) durumunu inceleyelim.
(6−a)2−3=8−a  ⟹  a2−11a+25=0(6 - a)^2 - 3 = 8 - a \implies a^2 - 11a + 25 = 0
6−a≥16 - a \ge 1 koşulu altında f(x)f(x) fonksiyonunun alttaki dalı olan x2−3x^2 - 3 kuralı uygulanır. Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı Δ=121−100=21\Delta = 121 - 100 = 21 olup kökleri rasyonel veya tam sayı değildir. Dolayısıyla bu durumdan tam sayı çözümü gelmez.

Key Concept

Bileşke fonksiyon tanımı ve parçalı fonksiyonlarda değer bulma
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyon

More questions from this topic