Examkin

Question

Difficulty: MediumPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bir restoranda çalışan bir usta, bir şişe dizmek üzere aynı büyüklükte 33 adet özdeş köfte, 22 adet özdeş domates ve 11 adet biber hazırlamıştır. Usta, köftelerin hiçbirinin yan yana gelmediği kaç farklı şiş dizilimi yapabilir?

Answer: 12

Answer

Köftelerin hiçbirinin yan yana gelmediği toplam farklı dizilim sayısı 12'dir.
Köftelerin yan yana gelmemesi için öncelikle diğer malzemeler (2 domates, 1 biber) dizilir. Bu dizilim 3!2!⋅1!=3\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 farklı şekilde gerçekleşir. Ardından oluşan 4 boşluktan 3'ü köfteler için seçilir. Köfteler özdeş olduğundan bu seçim (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde yapılır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre 3×4=123 \times 4 = 12 farklı dizilim elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Köfteler dışındaki malzemelerin dizilim sayısını hesaplama
3
Köfteler dışındaki 2 domates ve 1 biber, tekrarlı permütasyon formülü olan 3!2!⋅1!\frac{3!}{2! \cdot 1!} ile 3 farklı şekilde sıralanabilir.
2
Köftelerin yerleştirilebileceği boşluk sayısını ve seçimini belirleme
4
3 malzemenin yan yana dizilmesiyle oluşan 4 boşluk arasından, 3 özdeş köftenin yerleştirileceği 3 boşluk (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilir.
3
Toplam dizilim sayısını bulma
12
Toplam dizilim sayısı, köfteler dışındaki malzemelerin sıralanış sayısı ile boşluk seçim sayısının çarpımı (3×4=123 \times 4 = 12) olarak hesaplanır.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon dizilimi içeren durumlarda, belirli elemanların yan yana gelmemesi koşulu aranırken diğer elemanlar önceden dizilir ve aralarında oluşan boşluklara yerleşim yapılır.
Rate this question

Topics

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic