Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir zeytinyağı üreticisi, elde ettiği 280280 litre zeytinyağının tamamını 22, 33 ve 55 litrelik toplam 8080 adet boş şişeye, her bir şişe tamamen dolacak şekilde doldurmuştur. Doldurma işlemi sonunda kullanılan 33 litrelik şişe sayısının, 55 litrelik şişe sayısından fazla olduğu bilinmektedir. Her üç şişe türünden de en az birer tane kullanıldığına göre, kullanılan 22 litrelik şişe sayısı en fazla kaçtır?

  1. A
    16
  2. 18Answer
  3. C
    19
  4. D
    20
  5. E
    38

Answer

En fazla 18 adet 2 litrelik şişe kullanılmış olabilir.
Doğru cevap olan 18 değeri, 2 litrelik şişe sayısını en büyük yapmak için 5 litrelik şişe sayısının en büyük tam sayı değeri olan 29 seçilmesiyle elde edilir. Bu durumda 3 litrelik şişe sayısı 33 olup, 5 litrelik şişe sayısından (29) fazladır ve toplam şişe sayısı 80'i, toplam hacim ise 280 litreyi tam olarak sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Şişe sayılarını değişkenlerle ifade edip toplam şişe sayısı ve toplam hacim denklemlerini kuralım.
2 litrelik şişe sayısı xx, 3 litrelik şişe sayısı yy ve 5 litrelik şişe sayısı zz olsun. Bu durumda x+y+z=80x + y + z = 80 ve 2x+3y+5z=2802x + 3y + 5z = 280 denklemleri elde edilir.
Problemin verilerini matematiksel eşitliklere dönüştürmek amacıyla.
2
Kurulan denklemlerden xx değişkenini yok ederek yy ve zz arasındaki ilişkiyi bulalım.
İlk denklem 2 ile çarpılıp ikinci denklemden çıkarılırsa; (2x+3y+5z)−2(x+y+z)=280−2(80)  ⟹  y+3z=120(2x + 3y + 5z) - 2(x + y + z) = 280 - 2(80) \implies y + 3z = 120 eşitliği bulunur.
2 litrelik şişe sayısını en büyük yapmak için yy ve zz şişe sayılarının toplamını en küçük yapmamız gerektiğinden.
3
3 litrelik şişe sayısının 5 litrelik şişe sayısından fazla olması (y>zy > z) koşulunu ve şişe sayılarının pozitif tam sayı olması gerektiğini kullanarak zz'nin alabileceği en büyük değeri bulalım.
y+3z=120  ⟹  y=120−3zy + 3z = 120 \implies y = 120 - 3z olur. y>zy > z eşitsizliğinde yy yerine yazılırsa: 120−3z>z  ⟹  120>4z  ⟹  z<30120 - 3z > z \implies 120 > 4z \implies z < 30 elde edilir. Şişe sayıları pozitif tam sayı olduğundan zz en fazla 29 olabilir. Bu durumda y=120−3(29)=33y = 120 - 3(29) = 33 olur ve 33>2933 > 29 koşulu sağlanır.
xx'i maksimum yapmak için y+zy + z'yi minimum yapmalıyız. y+z=120−2zy + z = 120 - 2z olduğundan, bu toplamı en küçük yapmak zz'yi en büyük seçmekle mümkündür.
4
Bulunan yy ve zz değerlerini toplam şişe sayısı denkleminde yerine yazarak xx değerini hesaplayalım.
x=80−y−z  ⟹  x=80−33−29=18x = 80 - y - z \implies x = 80 - 33 - 29 = 18 bulunur.
En fazla kullanılacak 2 litrelik şişe sayısını bulmak için.

Key Concept

Birinci dereceden bilinmeyenli denklemler ve eşitsizlik sistemleri yardımıyla sayı problemlerini çözme, tam sayı kısıtları altında optimizasyon yapma.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic