Examkin

Question

Difficulty: MediumBir Fonksiyonun Tersi
Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için
x=3⋅f(x)−52⋅f(x)+4x = \frac{3 \cdot f(x) - 5}{2 \cdot f(x) + 4}
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f−1(x)f^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangidir?

  1. A
    R∖{32}\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}
  2. \mathbb{R} \setminus \{-2\}Answer
  3. C
    R∖{−54}\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{5}{4}\right\}
  4. D
    R∖{53}\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{5}{3}\right\}
  5. E
    \mathbb{R} \setminus \{2\}

Answer

\mathbb{R} \setminus \{-2\}
Ters fonksiyon tanımı gereği, verilen bağıntıda xx yalnız bırakıldığı için f(x)f(x) yerine xx yazılmasıyla f−1(x)=3x−52x+4f^{-1}(x) = \frac{3x-5}{2x+4} elde edilir. Bu rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan x=−2x = -2 değeri tanım kümesinde olamayacağından, en geniş tanım kümesi R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\} olur.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) yerine yy yazılarak eşitlik düzenlenir.
x=3y−52y+4x = \frac{3y - 5}{2y + 4} elde edilir.
Değişken dönüşümü yaparak ters fonksiyon tanımını uygulamak kolaylaştırılır.
2
Ters fonksiyon tanımı olan f(y)=x  ⟺  f−1(x)=yf(y) = x \iff f^{-1}(x) = y ilişkisi kullanılır.
f−1(y)=3y−52y+4f^{-1}(y) = \frac{3y - 5}{2y + 4} olur. Değişken xx cinsinden yazılırsa f−1(x)=3x−52x+4f^{-1}(x) = \frac{3x - 5}{2x + 4} bulunur.
Eşitlikte xx yalnız bırakılmış olduğundan, doğrudan ters fonksiyonun kuralına geçiş yapılır.
3
Elde edilen rasyonel fonksiyonun paydayı sıfır yapan değeri bulunur ve reel sayılardan çıkarılır.
2x+4=0  ⟹  x=−22x + 4 = 0 \implies x = -2 olup en geniş tanım kümesi R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\} olarak bulunur.
Rasyonel ifadeler payda sıfır olduğunda tanımsızdır, bu yüzden bu nokta tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi
Rate this question

Topics

Bir Fonksiyonun Tersi

More questions from this topic