Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sıfırdan farklı her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| eşitsizliği, xx ve yy sayılarının zıt işaretli olması durumunda her zaman sağlanır.

Answer: Answer

Answer

Sıfırdan farklı zıt işaretli her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| eşitsizliği her zaman doğrudur.
Zıt işaretli iki gerçel sayının toplamının mutlak değeri, sayıların mutlak değerlerinin ayrı ayrı toplamından küçüktür. Çünkü zıt işaretli sayılar birbirini sadeleştirici (azaltıcı) etki yaparken, mutlak değerlerinin toplamında bu etki olmamakta ve daha büyük bir değer elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin zıt işaretli olması durumunu matematiksel olarak tanımlayalım.
xx ve yy sıfırdan farklı ve zıt işaretli ise, biri pozitif diğeri negatiftir. Bu durum x⋅y<0x \cdot y < 0 olarak ifade edilir.
İ��aret analizini cebirsel olarak yapabilmek için çarpımlarının işaretini belirlememiz gerekir.
2
İfadenin her iki tarafının karesini alarak karşılaştırma yapalım.
Sol tarafın karesi: ∣x+y∣2=(x+y)2=x2+2xy+y2|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Sağ tarafın karesi: (∣x∣+∣y∣)2=∣x∣2+2∣x∣∣y∣+∣y∣2=x2+2∣xy∣+y2(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = x^2 + 2|xy| + y^2.
Mutlak değerli ifadeleri karşılaştırmak için karelerini almak işaret belirsizliğini ortadan kaldırır.
3
Elde edilen kareleri karşılaştıralım.
x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğundan, xy<∣xy∣xy < |xy| olur. Bu nedenle, x2+2xy+y2<x2+2∣xy∣+y2x^2 + 2xy + y^2 < x^2 + 2|xy| + y^2 eşitsizliği yazılır. Buradan ∣x+y∣2<(∣x∣+∣y∣)2|x + y|^2 < (|x| + |y|)^2 ve dolayısıyla ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| elde edilir.
xyxy negatif bir sayı iken ∣xy∣|xy| pozitif bir sayı olduğundan, negatif değer pozitif değerden her zaman küçüktür.

Key Concept

Mutlak değerin üçgen eşitsizliği özelliği ve geometrik yorumu
Rate this question

Topics

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

More questions from this topic