Examkin

Question

Difficulty: Very hardBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Dik koordinat düzleminde,
ax+by=6ax + by = 6
bx−ay=8bx - ay = 8
doğrularının kesim noktası P(x0,y0)P(x_0, y_0) olarak verilmektedir.
a2+b2=4a^2 + b^2 = 4
olduğuna göre, PP noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?
  1. A
    1010
  2. B
    2525
  3. 55Answer
  4. D
    525\sqrt{2}
  5. E
    77

Answer

P noktasının orijine olan uzaklığı 5 birimdir.
P noktasının orijine olan uzaklığının 5 birim olduğunu gösteren seçenek doğrudur. Verilen denklem sisteminde her iki denklemin karesi alınıp taraf tarafa toplandığında ve a2+b2=4a^2 + b^2 = 4 değeri yerine yazıldığında x02+y02=25x_0^2 + y_0^2 = 25 elde edilir. Bu değerin karekökü alınarak P noktasının orijine olan uzaklığı 5 birim olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklem sistemindeki her iki denklemin de karesi alınır.
(ax0+by0)2=62  ⟹  a2x02+2abx0y0+b2y02=36(ax_0 + by_0)^2 = 6^2 \implies a^2x_0^2 + 2abx_0y_0 + b^2y_0^2 = 36 ve (bx0−ay0)2=82  ⟹  b2x02−2abx0y0+a2y02=64(bx_0 - ay_0)^2 = 8^2 \implies b^2x_0^2 - 2abx_0y_0 + a^2y_0^2 = 64 elde edilir.
Denklemleri ortak çözebilmek ve x02+y02x_0^2 + y_0^2 ifadesine ulaşmak için kare alma işlemi uygulanır.
2
Elde edilen iki yeni denklem taraf tarafa toplanır.
a2x02+b2y02+b2x02+a2y02=100a^2x_0^2 + b^2y_0^2 + b^2x_0^2 + a^2y_0^2 = 100 elde edilir.
Taraf tarafa toplama yapıldığında +2abx0y0+2abx_0y_0 ve −2abx0y0-2abx_0y_0 çarpım terimleri birbirini sadeleştirir.
3
İfade ortak çarpan parantezine alınarak gruplandırılır.
(a2+b2)x02+(a2+b2)y02=100  ⟹  (a2+b2)(x02+y02)=100(a^2 + b^2)x_0^2 + (a^2 + b^2)y_0^2 = 100 \implies (a^2 + b^2)(x_0^2 + y_0^2) = 100 elde edilir.
Katsayıları sadeleştirmek amacıyla ortak paranteze alma işlemi uygulanır.
4
a2+b2=4a^2 + b^2 = 4 eşitliği denklemde yerine yazılır.
4(x02+y02)=100  ⟹  x02+y02=254(x_0^2 + y_0^2) = 100 \implies x_0^2 + y_0^2 = 25 elde edilir.
Sistemin kesim noktası olan P noktasının koordinatlarının kareleri toplamını elde etmek için katsayı bilgisi yerine konulur.
5
Bulunan ifadenin karekökü alınarak P noktasının orijine olan uzaklığı hesaplanır.
Uzaklık=x02+y02=25=5\text{Uzaklık} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} = \sqrt{25} = 5 birim bulunur.
Bir noktanın orijine olan uzaklığı x2+y2\sqrt{x^2+y^2} formülü ile hesaplandığı için karekök alınır.

Key Concept

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözümü ve Geometrik Yorumu
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

More questions from this topic